《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

微思考
1. 零向量能不能作为一个基向量？为什么？
2. 空间向量的正交分解式是唯一的吗？

答案： 提示：不能。因为 $\boldsymbol{0}$ 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面。@@提示：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，所以如果选用不同的正交基底，同一向量的正交分解式也会不同。

【例 1】 如图，在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，设$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，$M$，$N$，$P$分别是$AA_{1}$，$BC$，$C_{1}D_{1}$的中点，试用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$表示以下各向量：
（1）$\overrightarrow{AP}$；
（2）$\overrightarrow{A_{1}N}$；
（3）$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NC_{1}}$。

答案： 解
(1) 因为 $P$ 是 $C_{1}D_{1}$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\overrightarrow{D_{1}P}=\boldsymbol{a}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D_{1}C_{1}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$。@@
(2) 因为 $N$ 是 $BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{A_{1}N}=\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$。@@
(3) 因为 $M$ 是 $AA_{1}$ 的中点，所以 $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$。又 $\overrightarrow{NC_{1}}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}$，所以 $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NC_{1}}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+(\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c})=\frac{3}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{3}{2}\boldsymbol{c}$。

【变式训练】 如图，$M$，$N$分别是四面体$OABC$的棱$OA$，$BC$的中点，$P$，$Q$是$MN$的三等分点。用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{OQ}$。

答案： 解 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM})=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}[\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}]=\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$。$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{12}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$。