《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1.（多选）若 A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量可为 （ ）
A. (1，2，3)
B. (1，3，2)
C. (2，1，3)
D. $(-\frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2})$

答案： AD 解析 因为 $\overrightarrow{AB}=(2,4,6)$，所以与 $\overrightarrow{AB}$ 共线的非零向量都可以作为直线 $l$ 的方向向量。

2.（多选）已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的一个法向量可为 （ ）
A. (－1，1，－1)
B. $(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$
C. (1，1，1)
D. $(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3})$

答案： CD 解析 由 $\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$，结合选项，验证知应选 CD。

3. 已知平面α经过点 O(0，0，0)，且$\boldsymbol{e}=(1,2, - 3)$是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则 x，y，z 满足的关系式是________。

答案： $x + 2y - 3z = 0$ 解析 由题意得 $\boldsymbol{e}\perp\overrightarrow{OM}$，则 $\overrightarrow{OM}\cdot\boldsymbol{e}=(x,y,z)\cdot(1,2,-3)=0$，故 $x + 2y - 3z = 0$。

4. 已知平面α内两向量$\boldsymbol{a}=(1,1,1),\boldsymbol{b}=(0,2, - 1)$，且$\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}+(4, - 4,1)$。若$\boldsymbol{c}$为平面α的法向量，则 m，n 的值分别为________，________。

答案： $-1$ $2$ 解析 $\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}+(4,-4,1)=(m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m + 4,m + 2n - 4,m - n + 1)$。由 $\boldsymbol{c}$ 为平面 $\alpha$ 的法向量，得 $\begin{cases}\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=0\\\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}=0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=-1\\n=2\end{cases}$。

5. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB = AP = 1，AD = $\sqrt{3}$，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量。

答案：
解 因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 为矩形，所以 $AB$，$AD$，$AP$ 两两垂直。如图，以 $A$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立空间直角坐标系 $Axyz$，
则 $A(0,0,0)$，$D(0,\sqrt{3},0)$，$E(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，$B(1,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，于是 $\overrightarrow{AE}=(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt{3},0)$。设 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$ 为平面 $ACE$ 的法向量，则 $\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=0\end{cases}$，即 $\begin{cases}x+\sqrt{3}y=0\\\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0\end{cases}$，所以 $\begin{cases}x=-\sqrt{3}y\\z=-\sqrt{3}y\end{cases}$，令 $y=-1$，则 $x = z=\sqrt{3}$。所以平面 $ACE$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}=(\sqrt{3},-1,\sqrt{3})$。

观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行。旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？

答案：

1. 两直线平行的判定方法
设$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}$分别是直线$l_{1},l_{2}$的方向向量，则$l_{1}// l_{2}\Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$，使得______。

答案： $\boldsymbol{u}_{1} // \boldsymbol{u}_{2}$@@$\boldsymbol{u}_{1} = \lambda\boldsymbol{u}_{2}$

2. 直线和平面平行的判定方法
设$\boldsymbol{u}$是直线$l$的方向向量，$\boldsymbol{n}$是平面$\alpha$的法向量，$l\not\subset\alpha$，则$l//\alpha\Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow$______。

答案： $\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{n}$@@$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$

3. 平面和平面平行的判定方法
设$\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha//\beta\Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$，使得______。

答案： $\boldsymbol{n}_{1} // \boldsymbol{n}_{2}$@@$\boldsymbol{n}_{1} = \lambda\boldsymbol{n}_{2}$