《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】等腰梯形$ABCD$中，$AB// DC$，对角线为$AC$和$BD$。求证：$|AC| = |BD|$。

答案：
解：如图所示，建立直角坐标系。设$A(0,0)$，$B(a,0)$，$C(b,c)$，则点$D$的坐标是$(a - b,c)$。所以$\vert AC\vert=\sqrt{(b - 0)^2+(c - 0)^2}=\sqrt{b^2 + c^2}$，$\vert BD\vert=\sqrt{(a - b - a)^2+(c - 0)^2}=\sqrt{b^2 + c^2}$。故$\vert AC\vert=\vert BD\vert$。

【典例】（1）点$P( - 3,4)$关于直线$x + y - 2 = 0$的对称点$Q$的坐标是（ ）
A. ( - 2,1) B. ( - 2,5)
C. (2, - 5) D. (4, - 3)
（2）一条光线沿直线$2x - y + 2 = 0$入射到直线$x + y - 5 = 0$后反射，求反射光线所在直线的方程。

答案：

(1)B

(2)

【变式训练】（1）已知不同的两点$P(a, - b)$与$Q(b + 1,a - 1)$关于点$(3,4)$对称，则$ab$ = （ ）
A. - 5 B. 14 C. - 14 D. 5
（2）已知直线$l:y = 3x + 3$，则点$P(4,5)$关于$l$的对称点的坐标为________。

答案： C 解析：由题意知$\begin{cases}\frac{a + b + 1}{2}=3\\\frac{a - b - 1}{2}=4\end{cases}$，即$\begin{cases}a + b = 5\\a - b = 9\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 7\\b = -2\end{cases}$，故$ab = 7\times(-2)=-14$。@@$(-2,7)$ 解析：设点$P$关于直线$l$的对称点为$P'(x',y')$，则线段$PP'$的中点$M(\frac{x' + 4}{2},\frac{y' + 5}{2})$在直线$l$上，且直线$PP'$垂直于直线$l$，即$\begin{cases}\frac{y' + 5}{2}=3\cdot\frac{x' + 4}{2}+3\\\frac{y' - 5}{x' - 4}\cdot3=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x' = -2\\y' = 7\end{cases}$，所以点$P'$的坐标为$(-2,7)$。