《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系：在空间选定一点$O$和一个______基底$\{i, j, k\}$。以点$O$为原点，分别以$i, j, k$的方向为_______、以它们的长为_______建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴，它们都叫做坐标轴。这时就建立了一个空间直角坐标系$Oxyz$，$O$叫做_______，$i, j, k$都叫做_______。
（2）通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$Oxy$平面，$Oyz$平面，$Ozx$平面，它们把空间分成八个部分。

答案： 单位正交
@@正方向
@@单位长度
@@原点
@@坐标向量

2. 空间直角坐标系的画法
（1）空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系$Oxyz$时，一般使$\angle xOy =$_______，$\angle yOz =$_______。
（2）右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_______的正方向，食指指向_____的正方向，如果中指指向_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

答案： 135°(或45°)
@@90°
@@x轴
@@y轴
@@z轴

3. 空间向量的坐标
（1）点的坐标：在单位正交基底$\{i, j, k\}$下与向量$\overrightarrow{OA}=xi + yj + zk$对应的有序实数组$(x, y, z)$，叫做点$A$在空间直角坐标系中的坐标，记作________，其中$x$叫做点$A$的横坐标，$y$叫做点$A$的纵坐标，$z$叫做点$A$的竖坐标。
（2）向量的坐标：在空间直角坐标系$Oxyz$中，给定向量$a$，作$\overrightarrow{OA}=a$。由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组$(x, y, z)$，使$a = xi + yj + zk$。有序实数组_______叫做$a$在空间直角坐标系$Oxyz$中的坐标，上式可简记作__________。

答案： A(x,y,z)
@@(x,y,z)
@@a=(x,y,z)

1. 在给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组$(x, y, z)$之间存在唯一的对应关系？为什么？

答案： 提示：是。在给定的空间直角坐标系下，给定空间一点其坐标是唯一的有序实数组(x,y,z)；反之，给定一个有序实数组(x,y,z)，空间直角坐标系中也有唯一的点与之对应。

2. 在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，若$\overrightarrow{AB}=3i$，$\overrightarrow{AD}=2j$，$\overrightarrow{AA_{1}}=5k$，则向量$\overrightarrow{AC_{1}}$在基底$\{i, j, k\}$下的坐标是什么？

答案： 提示：$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}} = 3i + 2j+5k$，所以向量$\overrightarrow{AC_{1}}$在基底$\{i,j,k\}$下的坐标是(3,2,5)。

【例1】如图所示，在四棱锥$D - OABC$中，建立空间直角坐标系$Oxyz$，若$OD = 2$，$OA = 4$，$OC = 6$，$M$是$BD$的中点，求点$M$的坐标。

答案： 解 解法一：点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为$M_{1},M_{2},M_{3}$，它们在坐标轴上的坐标分别为2,3,1，所以点M的坐标是(2,3,1)。 解法二：设$\{i,j,k\}$为此空间直角坐标系的一个单位正交基底，则$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}[\overrightarrow{OD}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})]=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\times4i+\frac{1}{2}\times6j+\frac{1}{2}\times2k = 2i + 3j + k=(2,3,1)$。