《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】 如图，在正方体$ABCD - A'B'C'D'$中，$M,N$分别为$AB',BD$的中点，求平面$MNA$与平面$MNB$的夹角的余弦值。

答案：
解：设正方体棱长为$1$，以$B$为原点，$BA$，$BC$，$BB'$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系$Bxyz$，
则$M\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$，$N\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$，$A(1,0,0)$，$B(0,0,0)$。 解法一：取$MN$的中点$G$，连接$BG$，$AG$，则$G\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$。因为$AM = AN = BM = BN$，所以$\triangle AMN$，$\triangle BMN$为等腰三角形，所以$AG \perp MN$，$BG \perp MN$，故$\angle AGB$（或其补角）为两平面的夹角。又因为$\overrightarrow{GA}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\right)$，$\overrightarrow{GB}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\right)$，所以$\cos\langle\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\rangle=\frac{\overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GB}}{|\overrightarrow{GA}||\overrightarrow{GB}|}=\frac{-\frac{1}{8}}{\sqrt{\frac{3}{8}} \times \sqrt{\frac{3}{8}}}=-\frac{1}{3}$，故所求两平面的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$。 解法二：设平面$AMN$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_1=(x,y,z)$。由于$\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{AN}=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{AM}=0 \\ \boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{AN}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z = 0 \\ -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y = 0\end{cases}$，令$x = 1$，解得$y = 1$，$z = 1$，于是$\boldsymbol{n}_1=(1,1,1)$是平面$AMN$的一个法向量。同理可求得平面$BMN$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_2=(1,-1,-1)$，所以$\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle=\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{-1}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=-\frac{1}{3}$，设平面$MNA$与平面$MNB$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle|=\frac{1}{3}$。故所求两平面夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$。

1. 平面$\alpha$的斜线$l$与它在这个平面上的投影$l'$的方向向量分别为$\boldsymbol{a}=(1,0,1)$，$\boldsymbol{b}=(0,1,1)$，则斜线$l$与平面$\alpha$所成的角为 （ ）
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

答案： C

2. 已知向量$\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}$分别是直线$l$和平面$\alpha$的方向向量和法向量，若$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle = -\frac{1}{2}$，则$l$与$\alpha$所成的角为 （ ）
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $120^{\circ}$
D. $150^{\circ}$

答案： A

3. 在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M,N$分别为棱$BC$和棱$CC_{1}$的中点，则异面直线$AC$和$MN$所成的角为 （ ）

A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： D

4. 在三棱锥$P - ABC$中，$AB\perp BC$，$AB = BC = \frac{1}{2}PA$，$O,D$分别是$AC,PC$的中点，$OP\perp$底面$ABC$，则直线$OD$与平面$PBC$所成角的正弦值为 。

答案： $\frac{\sqrt{210}}{30}$

5. 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PB\perp$底面$ABCD$，$CD\perp PD$，底面$ABCD$为直角梯形，$AD// BC$，$AB\perp BC$，$AB = AD = PB = 3$。点$E$在棱$PA$上，且$PE = 2EA$。求平面$ABE$与平面$DBE$夹角的余弦值。

答案：
解：以$B$为原点，以直线$BC$，$BA$，$BP$分别为$x$，$y$，$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系。
则$P(0,0,3)$，$A(0,3,0)$，$D(3,3,0)$。设平面$DBE$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_1=(x,y,z)$，因为$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{BP}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PA}=(0,0,3)+\frac{2}{3}(0,3,-3)=(0,2,1)$，$\overrightarrow{BD}=(3,3,0)$，由$\begin{cases}\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{BE}=0 \\ \boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{BD}=0\end{cases}$，得$\begin{cases}2y + z = 0 \\ 3x + 3y = 0\end{cases}$，取$z = 1$，所以$\begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y = -\frac{1}{2}\end{cases}$，于是$\boldsymbol{n}_1=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)$是平面$DBE$的一个法向量。又因为平面$ABE$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_2=(1,0,0)$，所以$\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。设平面$ABE$与平面$DBE$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle|=\frac{\sqrt{6}}{6}$，故所求夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$。