《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例4】已知直线$l:5ax - 5y - a + 3 = 0$。
(1)求证：不论$a$为何值，直线$l$总经过第一象限；
(2)为使直线$l$不经过第二象限，求$a$的取值范围。

答案： 解 （1）证法一：将直线$l$的方程整理为$y - \frac{3}{5} = a(x - \frac{1}{5})$，所以直线$l$的斜率为$a$，且过定点$(\frac{1}{5},\frac{3}{5})$，而点$(\frac{1}{5},\frac{3}{5})$在第一象限内，故不论$a$为何值，$l$恒过第一象限。 证法二：直线$l$的方程可化为$(5x - 1)a - (5y - 3) = 0$。因为上式对任意的$a$总成立，必有$\begin{cases}5x - 1 = 0\\5y - 3 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x = \frac{1}{5}\\y = \frac{3}{5}\end{cases}$，即$l$过定点$(\frac{1}{5},\frac{3}{5})$。以下同证法一。@@（2）由（1）得直线$l$过定点$A(\frac{1}{5},\frac{3}{5})$。直线$OA$的斜率为$k = \frac{\frac{3}{5}-0}{\frac{1}{5}-0}=3$。如图所示，要使$l$不经过第二象限，需斜率$a\geqslant k_{OA}=3$，所以$a$的取值范围为$[3,+\infty)$。

【变式训练】设直线$l$的方程为$(m^2 - 2m - 3)x + (2m^2 + m - 1)y = 2m - 6$，根据下列条件分别确定$m$的值：
(1)$l$在$x$轴上的截距是-3；
(2)$l$的斜率是-1。

答案： 解 （1）当直线在$x$轴上的截距为 - 3时，有$\frac{2m - 6}{m^2 - 2m - 3} = -3$，且$m^2 - 2m - 3\neq0$，解得$m = -\frac{5}{3}$。@@（2）当斜率为 - 1时，有$-\frac{m^2 - 2m - 3}{2m^2 + m - 1} = -1$，且$2m^2 + m - 1\neq0$，解得$m = -2$。

1. 在平面直角坐标系中，直线$x + \sqrt{3}y - 3 = 0$的倾斜角是 （ ）
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $150^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

答案： C 解析 直线斜率$k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以倾斜角为$150^{\circ}$。故选C。

2. 已知直线$2x + ay + b = 0$在$x$轴、$y$轴上的截距分别为-1，2，则$a$，$b$的值分别为 （ ）
A. -1，2
B. -2，2
C. 2，-2
D. -2，-2

答案： A 解析 令$x = 0$，则$y = -\frac{b}{a}=2$；令$y = 0$，则$x = -\frac{b}{2} = -1$，解得$b = 2$，$a = -1$。故选A。

3. 斜率为2，且经过点$A(1,3)$的直线的一般式方程为________________。

答案： $2x - y + 1 = 0$

4. 若直线$x - 2y + 5 = 0$与直线$2x + my - 6 = 0$互相垂直，则实数$m =$_______。

答案： 1

5. 已知在$\triangle ABC$中，点$A$的坐标为$(1,3)$，$AB$，$AC$边上的中线所在直线的方程分别为$x - 2y + 1 = 0$和$y - 1 = 0$，求$\triangle ABC$各边所在直线的方程。

答案： 解 设$AB$，$AC$边上的中线分别为$CD$，$BE$，其中$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，因为点$B$在中线$BE:y - 1 = 0$上，所以设$B$点坐标为$(x,1)$。又因为$A$点坐标为$(1,3)$，$D$为$AB$的中点，所以由中点坐标公式得$D$点坐标为$(\frac{x + 1}{2},2)$。又因为点$D$在中线$CD:x - 2y + 1 = 0$上，所以$\frac{x + 1}{2}-2×2 + 1 = 0$，解得$x = 5$，所以$B$点坐标为$(5,1)$。同理可求出$C$点的坐标是$( - 3,-1)$。故可求出$\triangle ABC$三边$AB$，$BC$，$AC$所在直线的方程分别为$x + 2y - 7 = 0$，$x - 4y - 1 = 0$和$x - y + 2 = 0$。