《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】（1）直线$l$经过原点，且经过另两条直线$2x + 3y + 8 = 0$，$x - y - 1 = 0$的交点，则直线$l$的方程为（ ）
A. $2x + y = 0$ B. $2x - y = 0$
C. $x + 2y = 0$ D. $x - 2y = 0$
（2）三条直线$ax + 2y + 7 = 0$，$4x + y = 14$和$2x - 3y = 14$相交于一点，求$a$的值。

答案： B 解析：设所求直线方程为$2x + 3y + 8+\lambda(x - y - 1)=0$，即$(2 + \lambda)x+(3 - \lambda)y+8 - \lambda = 0$，因为$l$过原点，所以$\lambda = 8$，则所求直线$l$的方程为$2x - y = 0$。@@解：解方程组$\begin{cases}4x + y = 14\\2x - 3y = 14\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 4\\y = -2\end{cases}$，所以两条直线的交点坐标为$(4,-2)$。由题意知点$(4,-2)$在直线$ax + 2y + 7 = 0$上，将$(4,-2)$代入，得$a\times4 + 2\times(-2)+7 = 0$，解得$a = -\frac{3}{4}$。

【例2】（1）已知点$A( - 3,4)$，$B(2,\sqrt{3})$，在$x$轴上找一点$P$，使$|PA| = |PB|$，并求$|PA|$的值。
（2）已知$\triangle ABC$的三顶点坐标$A( - 3,1)$，$B(3, - 3)$，$C(1,7)$，试判断$\triangle ABC$的形状。

答案： 解：设点$P$的坐标为$(x,0)$，则有$\vert PA\vert=\sqrt{(x + 3)^2+(0 - 4)^2}=\sqrt{x^2 + 6x + 25}$，$\vert PB\vert=\sqrt{(x - 2)^2+(0 - \sqrt{3})^2}=\sqrt{x^2 - 4x + 7}$。由$\vert PA\vert=\vert PB\vert$，得$x^2 + 6x + 25 = x^2 - 4x + 7$，解得$x = -\frac{9}{5}$。故所求点$P$的坐标为$(-\frac{9}{5},0)$。$\vert PA\vert=\sqrt{(-\frac{9}{5}+3)^2+(0 - 4)^2}=\frac{2\sqrt{109}}{5}$。@@解：因为$k_{AC}=\frac{7 - 1}{1 - (-3)}=\frac{3}{2}$，$k_{AB}=\frac{-3 - 1}{3 - (-3)}=-\frac{2}{3}$，则$k_{AC}\cdot k_{AB}=-1$，所以$AC\perp AB$。又$\vert AC\vert=\sqrt{(1 + 3)^2+(7 - 1)^2}=2\sqrt{13}$，$\vert AB\vert=\sqrt{(3 + 3)^2+(-3 - 1)^2}=2\sqrt{13}$，所以$\vert AC\vert=\vert AB\vert$，所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。

【变式训练】试在直线$x - y + 4 = 0$上求一点$P$，使它到点$M( - 2, - 4)$，$N(4,6)$的距离相等。

答案： 解：由直线$x - y + 4 = 0$，得$y = x + 4$，点$P$在该直线上，所以可设$P$点的坐标为$(a,a + 4)$。由已知$\vert PM\vert=\vert PN\vert$，所以$\sqrt{[a - (-2)]^2+[a + 4 - (-4)]^2}=\sqrt{(a - 4)^2+(a + 4 - 6)^2}$，即$\sqrt{(a + 2)^2+(a + 8)^2}=\sqrt{(a - 4)^2+(a - 2)^2}$。所以$(a + 2)^2+(a + 8)^2=(a - 4)^2+(a - 2)^2$。解得$a = -\frac{3}{2}$，从而$a + 4 = -\frac{3}{2}+4=\frac{5}{2}$。所以$P(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$。

【例3】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。

答案：
证明：如图，以$A$为原点，边$AB$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系，其中$D$，$E$分别为边$AC$和$BC$的中点。设$A(0,0)$，$B(c,0)$，$C(m,n)$，则$\vert AB\vert=\vert c\vert$。又由中点坐标公式，得$D(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$，$E(\frac{c + m}{2},\frac{n}{2})$，所以$\vert DE\vert=\vert\frac{c + m}{2}-\frac{m}{2}\vert=\vert\frac{c}{2}\vert$，所以$\vert DE\vert=\frac{1}{2}\vert AB\vert$，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。