《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例1】若直线 $l$ 过点$(2,1)$，分别求 $l$ 满足下列条件时的直线方程。
（1）倾斜角为 $135^{\circ}$；
（2）平行于 $x$ 轴；
（3）平行于 $y$ 轴；
（4）过原点。

答案： 直线的斜率 $k = \tan135^{\circ} = -1$，所以由点斜式方程得 $y - 1 = -1\times(x - 2)$，即方程为 $y - 1 = -(x - 2)$。@@平行于 $x$ 轴的直线的斜率 $k = 0$，故所求的直线方程为 $y = 1$。@@过点 $(2,1)$ 且平行于 $y$ 轴的直线方程为 $x = 2$。@@过点 $(2,1)$ 与点 $(0,0)$ 的直线的斜率 $k = \frac{1}{2}$，故所求的直线方程为 $y = \frac{1}{2}x$。

（1）已知直线的方程是 $y + 2 = -x - 1$，则（ ）
A. 直线经过点$(-1,2)$，斜率为$-1$
B. 直线经过点$(2,-1)$，斜率为$-1$
C. 直线经过点$(-1,-2)$，斜率为$-1$
D. 直线经过点$(-2,-1)$，斜率为 $1$

答案： C 解析 直线方程 $y + 2 = -x - 1$ 可化为 $y - (-2) = -[x - (-1)]$，故直线经过点 $(-1,-2)$，斜率为 -1。

（2）经过点 $P(2,-3)$，且倾斜角为 $45^{\circ}$的直线方程为（ ）
A. $x + y + 1 = 0$
B. $x + y - 1 = 0$
C. $x - y + 5 = 0$
D. $x - y - 5 = 0$

答案： D 解析 倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线的斜率为 $\tan45^{\circ} = 1$，又该直线经过点 $P(2,-3)$，所以用点斜式求得直线的方程为 $y + 3 = x - 2$，即 $x - y - 5 = 0$。

【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）倾斜角为 $60^{\circ}$，与 $y$ 轴的交点到坐标原点的距离为 $3$；
（2）与直线 $y = 2x + 1$ 垂直，且在 $y$ 轴上的截距为 $4$；
（3）在 $y$ 轴上的截距为 $-6$，且与 $y$ 轴夹角为 $60^{\circ}$。

答案： 因为直线的倾斜角为 $60^{\circ}$，所以斜率 $k = \tan60^{\circ} = \sqrt{3}$。因为直线与 $y$ 轴的交点到坐标原点的距离为 3，所以直线在 $y$ 轴上的截距 $b = 3$ 或 $b = -3$，故所求直线的斜截式方程为 $y = \sqrt{3}x + 3$ 或 $y = \sqrt{3}x - 3$。@@直线 $y = 2x + 1$ 的斜率 $k = 2$，则与直线 $y = 2x + 1$ 垂直的直线的斜率 $k' = -\frac{1}{2}$，故所求直线的斜截式方程为 $y = -\frac{1}{2}x + 4$。@@与 $y$ 轴相交夹角为 $60^{\circ}$ 的直线倾斜角为 $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$，所以斜率 $k$ 为 $\tan30^{\circ}$ 或 $\tan150^{\circ}$，即 $k = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，故所求直线的斜截式方程为 $y = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}x - 6$。