《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 圆的标准方程
（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径。
（2）标准方程：圆心为$A(a,b)$，半径为$r$的圆的标准方程为____________。
（3）确定圆的标准方程的几何要素：圆心、半径。

答案： $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$@@

2. 点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内。判断点与圆的位置关系有两种方法。
（1）几何法：将所给的点$M$与圆心$A$的距离跟半径$r$比较。
若$|AM| = r$，则点$M$在____________；
若$|AM| ＞ r$，则点$M$在____________；
若$|AM| ＜ r$，则点$M$在____________。
（2）代数法：可利用圆$A$的标准方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$来确定。
点$M(m,n)$在____________$\Leftrightarrow (m - a)^2 + (n - b)^2 = r^2$；
点$M(m,n)$在____________$\Leftrightarrow (m - a)^2 + (n - b)^2 ＞ r^2$；
点$M(m,n)$在____________$\Leftrightarrow (m - a)^2 + (n - b)^2 ＜ r^2$。

答案： 圆上@@圆外@@圆内@@圆A上@@圆A外@@圆A内

1. 方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(a,b,r\in\mathbf{R})$表示一个圆吗？为什么？

答案： 提示：未必表示圆。当$r \neq 0$时，表示圆心为$(a, b)$，半径为$|r|$的圆；当$r = 0$时，表示一个点$(a, b)$。

2. 点$A(1,1)$，$B(4,0)$，$C(\sqrt{2},\sqrt{2})$同圆$x^2 + y^2 = 4$的位置关系如何？

答案： 提示：点A在圆内，点B在圆外，点C在圆上。

【例1】（1）圆心为$(3,4)$且经过坐标原点的圆的标准方程是$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$。
（2）圆心在直线$x - 2y - 3 = 0$上，且过点$A(2,-3)$，$B(-2,-5)$的圆的标准方程为$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$。

答案： $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$@@$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$