《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】点$A(2,0)$是圆$x^2 + y^2 = 4$上的定点，点$B(1,1)$是圆内一点，$P$，$Q$为圆上的动点。
(1)求线段$AP$的中点$M$的轨迹方程；
(2)若$\angle PBQ = 90^{\circ}$，求线段$PQ$的中点$N$的轨迹方程。

答案： 解
(1) 设线段$AP$的中点为$M(x, y)$，由中点坐标公式得点$P(2x - 2,2y)$。因为点$P$在圆$x^2 + y^2 = 4$上，所以$(2x - 2)^2 + (2y)^2 = 4$，故线段$AP$的中点$M$的轨迹方程为$(x - 1)^2 + y^2 = 1$。
(2) 设线段$PQ$的中点为$N(x, y)$，在$Rt\triangle PBQ$中，$|PN| = |BN|$。设$O$为原点，连接$ON$，则$ON\perp PQ$，所以$|OP|^2 = |ON|^2 + |PN|^2 = |ON|^2 + |BN|^2$，所以$x^2 + y^2 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$，故线段$PQ$的中点$N$的轨迹方程为$x^2 + y^2 - x - y - 1 = 0$。

1. 方程$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6 = 0$表示的轨迹为 （ ）
A. 圆心为$(1,2)$的圆
B. 圆心为$(2,1)$的圆
C. 圆心为$(-1,-2)$的圆
D. 不表示任何图形

答案： D 解析 因为$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6 = 0$等价于$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = -1$，即方程无解，所以该方程不表示任何图形。故选 D。

2. 若圆$x^2 + y^2 - 2kx - 4 = 0$关于直线$2x - y + 3 = 0$对称，则$k$等于 （ ）
A. $\frac{3}{2}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. 3
D. -3

答案： B 解析 由题意知，直线$2x - y + 3 = 0$过圆心。因为圆心坐标为$(k,0)$，所以$2k + 3 = 0$，$k = -\frac{3}{2}$。

3. 已知一动点$M$到点$A(-4,0)$的距离是它到点$B(2,0)$的距离的$2$倍，则动点$M$的轨迹方程是____________________。

答案： $x^2 + y^2 - 8x = 0$ 解析 设动点$M$的坐标为$(x, y)$，则$|MA| = 2|MB|$，即$\sqrt{(x + 4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$，整理，得$x^2 + y^2 - 8x = 0$。故所求动点$M$的轨迹方程为$x^2 + y^2 - 8x = 0$。

4. 若圆的圆心为$(3,1)$，且与$x$轴相切，则圆的一般方程是________________。

答案： $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$ 解析 由题意知圆的半径为$1$，所以圆的方程为$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$，即$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$。

5. 已知点$A(2,2)$，$B(5,3)$，$C(3,-1)$。
(1)求$\triangle ABC$的外接圆的一般方程；
(2)若点$M(a,2)$在$\triangle ABC$的外接圆上，求$a$的值。

答案： 解
(1) 设$\triangle ABC$外接圆的一般方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，由题意，得$\begin{cases}2^2 + 2^2 + 2D + 2E + F = 0 \\5^2 + 3^2 + 5D + 3E + F = 0 \\3^2 + (-1)^2 + 3D - E + F = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}D = -8 \\E = -2 \\F = 12\end{cases}$，即$\triangle ABC$的外接圆的方程为$x^2 + y^2 - 8x - 2y + 12 = 0$。
(2) 由
(1) 知，$\triangle ABC$的外接圆的方程为$x^2 + y^2 - 8x - 2y + 12 = 0$，因为点$M(a,2)$在$\triangle ABC$的外接圆上，所以$a^2 + 2^2 - 8a - 2\times2 + 12 = 0$，即$a^2 - 8a + 12 = 0$，解得$a = 2$或$a = 6$。