《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】(1)若直线$l$经过点$(a - 2,-1)$和$(-a - 2,1)$,且与经过点$(-2,1)$斜率为$-\frac{2}{3}$的直线垂直，则实数$a$的值为（ ）
A.$-\frac{2}{3}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： A 解析 易知$a = 0$不符合题意。当$a\neq0$时，直线$l$的斜率$k = \frac{2}{-a - 2 - a + 2} = -\frac{1}{a}$，由$-\frac{1}{a}·(-\frac{2}{3}) = -1$，得$a = -\frac{2}{3}$。故选A。

【变式训练】(2)以$A(-1,1)$,$B(2,-1)$,$C(1,4)$为顶点的三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以$A$点为直角顶点的直角三角形
D.以$B$点为直角顶点的直角三角形

答案：
C 解析 如图所示，易知$k_{AB} = \frac{-1 - 1}{2 - (-1)} = -\frac{2}{3}$，$k_{AC} = \frac{4 - 1}{1 - (-1)} = \frac{3}{2}$，由$k_{AB}·k_{AC} = -1$知三角形是以$A$点为直角顶点的直角三角形。

【例3】已知$A(-4,3)$,$B(2,5)$,$C(6,3)$,$D(-3,0)$四点，若顺次连接$A$,$B$,$C$,$D$四点，试判断图形$ABCD$的形状。

答案：
解 $A$，$B$，$C$，$D$四点在平面直角坐标系内的位置如图。由斜率公式可得$k_{AB} = \frac{5 - 3}{2 - (-4)} = \frac{1}{3}$，$k_{CD} = \frac{0 - 3}{-3 - 6} = \frac{1}{3}$，$k_{AD} = \frac{0 - 3}{-3 - (-4)} = -3$，$k_{BC} = \frac{3 - 5}{6 - 2} = -\frac{1}{2}$，所以$k_{AB} = k_{CD}$，由图可知$AB$与$CD$不重合，所以$AB// CD$。由$k_{AD} \neq k_{BC}$，所以$AD$与$BC$不平行。又$k_{AB}·k_{AD} = \frac{1}{3}×(-3) = -1$，所以$AB\perp AD$。故四边形$ABCD$为直角梯形。

【变式训练】已知$\square ABCD$中，顶点$A(1,2)$,$B(5,0)$,$C(3,4)$。
(1)求点$D$的坐标；
(2)试判断$\square ABCD$是否为菱形？

答案： 解
(1) 设$D$点坐标为$(a,b)$，因为四边形$ABCD$为平行四边形，所以$k_{AB} = k_{CD}$，$k_{AD} = k_{BC}$，所以$\begin{cases}\frac{0 - 2}{5 - 1} = \frac{b - 4}{a - 3}\\\frac{b - 2}{a - 1} = \frac{4 - 0}{3 - 5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 6\end{cases}$，所以点$D(-1,6)$。
(2) 因为$k_{AC} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = 1$，$k_{BD} = \frac{6 - 0}{-1 - 5} = -1$，所以$k_{AC}·k_{BD} = -1$，所以$AC\perp BD$，所以$\square ABCD$为菱形。

【典例】如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长$AD$为$5\ m$，宽$AB$为$3\ m$，其中一条小路定为$AC$，另一条小路过点$D$，问如何在$BC$上找到一点$M$，使得两条小路所在直线$AC$与$DM$互相垂直？

答案：
【解】如图，以点$B$为原点，$BC$,$BA$所在直线分别为$x$轴、$y$轴建立平面直角坐标系。
由$AD = 5(m)$,$AB = 3(m)$，
可得$C(5,0)$,$D(5,3)$,$A(0,3)$。
设点$M$的坐标为$(x,0)$，
因为$AC\perp DM$，
所以$k_{AC}\cdot k_{DM} = -1$。
所以$\frac{3 - 0}{0 - 5}\cdot\frac{3 - 0}{5 - x} = -1$,解得$x = \frac{16}{5}=3.2$，
即$BM = 3.2(m)$时，两条小路所在直线$AC$与$DM$互相垂直。