《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例1】若方程$x^2 + y^2 + 2mx - 2y + m^2 + 5m = 0$表示圆，求：
(1)实数$m$的取值范围；
(2)圆心坐标和半径。

答案： 解
(1) 由题意知$D^2 + E^2 - 4F = (2m)^2 + (-2)^2 - 4(m^2 + 5m)＞0$，即$4m^2 + 4 - 4m^2 - 20m＞0$，解得$m＜\frac{1}{5}$，故$m$的取值范围为$(-\infty, \frac{1}{5})$。
(2) 将方程$x^2 + y^2 + 2mx - 2y + m^2 + 5m = 0$写成标准方程为$(x + m)^2 + (y - 1)^2 = 1 - 5m$，故圆心坐标为$(-m, 1)$，半径$r = \sqrt{1 - 5m}$。

【例2】求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过$A(4,0)$，$B(3,-3)$，$C(1,1)$三点；
(2)圆心在直线$y = x$上，与$x$轴相交于$(-1,0)$，$(3,0)$两点。

答案： 解
(1) 解法一：设圆的方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，分别代入$(4, 0)$，$(3, -3)$，$(1, 1)$三点，得$\begin{cases}16 + 4D + F = 0 \\9 + 9 + 3D - 3E + F = 0 \\1 + 1 + D + E + F = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}D = -4 \\E = 2 \\F = 0\end{cases}$，所以圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$。 解法二：已知$A(4,0)$，$B(3, -3)$，$C(1,1)$三点，所以$k_{AB}=\frac{0 - (-3)}{4 - 3}=3$，$k_{AC}=\frac{0 - 1}{4 - 1}=-\frac{1}{3}$，所以$k_{AB}\cdot k_{AC}=-1$，所以$AB\perp AC$，即$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形。所以经过$A(4,0)$，$B(3, -3)$，$C(1,1)$三点的圆的圆心为$BC$的中点$M(2, -1)$，半径为$|AM|=\sqrt{(4 - 2)^2 + (0 + 1)^2}=\sqrt{5}$，所以圆的方程为$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$。
(2) 解法一：设圆的方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，则圆心为$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$。因为圆心在直线$y = x$上，且圆过$(-1, 0)$，$(3, 0)$两点，所以$\begin{cases}D = E \\1 - D + F = 0 \\9 + 3D + F = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}D = -2 \\E = -2 \\F = -3\end{cases}$，所以圆的方程为$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$。 解法二：因为圆与$x$轴相交于$(-1,0)$，$(3,0)$两点，所以圆心在直线$x = 1$上。又圆心在直线$y = x$上，所以圆心坐标为$(1,1)$。所以圆的半径为$\sqrt{(3 - 1)^2 + (0 - 1)^2}=\sqrt{5}$，所以圆的方程为$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5$。

(1)方程$2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 10 = 0$表示的图形是 （ ）
A. 一个点
B. 一个圆
C. 一条直线
D. 不存在

答案： A 解析 方程$2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 10 = 0$，可化为$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$，即$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$，所以方程$2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 10 = 0$表示点$(1, -2)$。

(2)方程$x^2 + y^2 + ax + 2ay + 2a^2 + a - 1 = 0$表示圆，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,-2)\cup(\frac{2}{3},+\infty)$
B. $(-\frac{2}{3},2)$
C. $(-2,0)$
D. $(-2,\frac{2}{3})$

答案： D 解析 方程$x^2 + y^2 + ax + 2ay + 2a^2 + a - 1 = 0$表示圆，所以$a^2 + 4a^2 - 4(2a^2 + a - 1)＞0$，所以$3a^2 + 4a - 4＜0$，所以$(a + 2)(3a - 2)＜0$，所以$-2 ＜ a ＜ \frac{2}{3}$。

(1)过点$M(-1,1)$，且圆心与已知圆$C:x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$相同的圆的方程为________。

答案： $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ 解析 将圆$C$的方程化为标准方程$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$，圆心$C$的坐标为$(2, -3)$，半径为$4$，故所求圆的半径为$r = |CM|=\sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 - 1)^2}=5$。所求圆的方程为$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$。

(2)过三点$O(0,0)$，$M(7,1)$，$N(4,2)$的圆的方程为________。

答案： $x^2 + y^2 - 8x + 6y = 0$ 解析 设所求圆的方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。由已知，点$O(0,0)$，$M(7,1)$，$N(4,2)$的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于$D$，$E$，$F$的三元一次方程组$\begin{cases}F = 0 \\7D + E + F + 50 = 0 \\4D + 2E + F + 20 = 0\end{cases}$，解方程组得$D = -8$，$E = 6$，$F = 0$，于是得到所求圆的方程为$x^2 + y^2 - 8x + 6y = 0$。

【例3】(1)求到点$O(0,0)$的距离是到点$A(3,0)$的距离的$\frac{1}{2}$的点的轨迹方程。
(2)已知点$P$在圆$C:x^2 + y^2 - 8x - 6y + 21 = 0$上运动，求线段$OP$的中点$M$的轨迹方程。

答案：
(1) 解 设$M(x, y)$到$O(0,0)$的距离是到$A(3,0)$的距离的$\frac{1}{2}$。则$\frac{|MO|}{|MA|}=\frac{1}{2}$，即$\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(x - 3)^2 + y^2}}=\frac{1}{2}$。化简得$x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$。即所求轨迹方程为$(x + 1)^2 + y^2 = 4$。
(2) 解 设点$M(x, y)$，点$P(x_0, y_0)$，则$\begin{cases}x = \frac{x_0}{2} \\y = \frac{y_0}{2}\end{cases}$，所以$\begin{cases}x_0 = 2x \\y_0 = 2y\end{cases}$。因为点$P(x_0, y_0)$在圆$C:x^2 + y^2 - 8x - 6y + 21 = 0$上，所以$x_0^2 + y_0^2 - 8x_0 - 6y_0 + 21 = 0$。所以$(2x)^2 + (2y)^2 - 8\times(2x) - 6\times(2y) + 21 = 0$。即点$M$的轨迹方程为$x^2 + y^2 - 4x - 3y + \frac{21}{4} = 0$。