《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】 已知两圆$C_1:x^{2}+y^{2}=4$，$C_2:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=r^{2}(r＞0)$，直线$l:x + 2y = 0$。
（1）当圆$C_1$与圆$C_2$相交且公共弦长为4时，求$r$的值；
（2）当$r = 1$时，求经过圆$C_1$与圆$C_2$的交点且和直线$l$相切的圆的方程。

答案： 解
(1) 由圆 $C_1:x^2 + y^2 = 4$，知圆心坐标 $C_1(0,0)$，半径为 $r_1 = 2$，又由圆 $C_2:(x - 1)^2+(y - 2)^2 = r^2(r＞0)$，可得 $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 - r^2 = 0$，两式相减可得公共弦所在的直线方程为 $2x + 4y - 9 + r^2 = 0$。因为圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交且公共弦长为 4，此时公共弦过圆心 $C_1(0,0)$，即 $r^2 = 9(r＞0)$，解得 $r = 3$。
(2) 设过圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的交点的圆系方程为 $(x - 1)^2+(y - 2)^2 - 1+\lambda(x^2 + y^2 - 4)=0(\lambda\neq - 1)$，即 $(1 + \lambda)x^2+(1 + \lambda)y^2 - 2x - 4y + 4(1 - \lambda)=0$，所以 $(x-\frac{1}{\lambda + 1})^2+(y-\frac{2}{\lambda + 1})^2=\frac{4\lambda^2 + 1}{(\lambda + 1)^2}$，由圆心到直线 $x + 2y = 0$ 的距离等于圆的半径，可得 $\frac{|\frac{1}{\lambda + 1}+\frac{4}{\lambda + 1}|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{4\lambda^2 + 1}}{|\lambda + 1|}$，解得 $\lambda = 1$，故所求圆的方程为 $x^2 + y^2 - x - 2y = 0$。

1. 已知圆$C_1:x^{2}+y^{2}=4$与圆$C_2:(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=9$，则圆$C_1$与圆$C_2$的位置关系是 （ ）
A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内含

答案： B 解析 $|C_1C_2| = 5 = r_1 + r_2$，选 B。

2.（多选）圆$x^{2}+y^{2}=1$与圆$x^{2}+y^{2}+2x + 2y + 1 = 0$的交点坐标有 （ ）
A. $(0,1)$
B. $(1,0)$
C. $(0,-1)$
D. $(-1,0)$

答案： CD 解析 联立方程组 $\begin{cases}x^2 + y^2 = 1\\x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = - 1\\y = 0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 0\\y = - 1\end{cases}$，所以两圆交于点 $( - 1,0)$ 和 $(0, - 1)$。

3. 已知两圆$C_1:x^{2}+y^{2}-4x + 2y - 1 = 0$与$C_2:x^{2}+y^{2}+4x - 4y - 17 = 0$，则它们的公共弦所在直线的方程为 ________________。

答案： $4x - 3y - 8 = 0$ 解析 由题意，$C_1:x^2 + y^2 - 4x + 2y - 1 = 0$ 与 $C_2:x^2 + y^2 + 4x - 4y - 17 = 0$ 相交，所以两圆的方程作差得 $8x - 6y - 16 = 0$，即公共弦所在直线的方程为 $4x - 3y - 8 = 0$。

4. 已知圆系方程$(x - m)^{2}+(y - 2m)^{2}=5(m\in\mathbf{R}$，$m$为参数)，这些圆的公切线方程为 ________。

答案： $2x - y\pm5 = 0$ 解析 由题意知圆心的轨迹方程为 $y = 2x$，则这些圆的公切线与直线 $y = 2x$ 平行，设圆的公切线方程为 $2x - y + c = 0$，则 $\frac{|c|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，所以 $c=\pm5$，所以这些圆的公切线方程为 $2x - y\pm5 = 0$。

5. 求圆心在直线$x - y - 4 = 0$上，且经过圆$x^{2}+y^{2}-4x - 6 = 0$与圆$x^{2}+y^{2}-4y - 6 = 0$的交点的圆的方程。

答案： 解 解法一：由 $\begin{cases}x^2 + y^2 - 4x - 6 = 0\\x^2 + y^2 - 4y - 6 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = - 1\\y = - 1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 3\\y = 3\end{cases}$，所以圆 $x^2 + y^2 - 4x - 6 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 - 4y - 6 = 0$ 的交点分别为 $A( - 1, - 1)$，$B(3,3)$，线段 $AB$ 的垂直平分线的方程为 $y - 1 = - (x - 1)$。由 $\begin{cases}y - 1 = - (x - 1)\\x - y - 4 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 3\\y = - 1\end{cases}$，所以所求圆的圆心坐标为 $(3, - 1)$，半径为 $\sqrt{(3 - 3)^2+(3 + 1)^2}=4$，所以所求圆的方程为 $(x - 3)^2+(y + 1)^2 = 16$。 解法二：设所求圆的方程为 $x^2 + y^2 - 4x - 6+\lambda(x^2 + y^2 - 4y - 6)=0(\lambda\neq - 1)$，化简可得 $x^2 + y^2-\frac{4}{1 + \lambda}x-\frac{4\lambda}{1 + \lambda}y - 6 = 0$，其圆心坐标为 $(\frac{2}{1 + \lambda},\frac{2\lambda}{1 + \lambda})$。又圆心 $(\frac{2}{1 + \lambda},\frac{2\lambda}{1 + \lambda})$ 在直线 $x - y - 4 = 0$ 上，所以 $\frac{2}{1 + \lambda}-\frac{2\lambda}{1 + \lambda}-4 = 0$，解得 $\lambda =-\frac{1}{3}$，所以所求圆的方程为 $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0$。