《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例2】(1)已知直线$l_1:2x + (m + 1)y + 4 = 0$与直线$l_2:mx + 3y - 2 = 0$平行，求实数$m$的值。
(2)已知直线$l_1:(a + 2)x + (1 - a)y - 1 = 0$与直线$l_2:(a - 1)x + (2a + 3)y + 2 = 0$垂直，求实数$a$的值。

答案： （1）解 由$2×3 - m(m + 1) = 0$，得$m = -3$或$m = 2$。当$m = -3$时，$l_1:x - y + 2 = 0$，$l_2:3x - 3y + 2 = 0$，显然$l_1$与$l_2$不重合，所以$l_1// l_2$。当$m = 2$时，$l_1:2x + 3y + 4 = 0$，$l_2:2x + 3y - 2 = 0$，$l_1$与$l_2$不重合，$l_1// l_2$，故$m$的值为2或 - 3。@@（2）解 由直线$l_1\perp l_2$，得$(a + 2)(a - 1) + (1 - a)(2a + 3) = 0$，解得$a = \pm1$。故当$a = 1$或$a = -1$时，直线$l_1\perp l_2$。

【变式训练】已知直线$l_1:3mx + 8y + 3m - 10 = 0$和$l_2:x + 6my - 4 = 0$。问$m$为何值时：
(1)$l_1$与$l_2$平行；
(2)$l_1$与$l_2$垂直。

答案： 解 （1）当$l_1$与$l_2$平行时，$3m×6m - 8 = 0$，解得$m = \pm\frac{2}{3}$。当$m = \frac{2}{3}$时，$l_1:2x + 8y - 8 = 0$，即$x + 4y - 4 = 0$，$l_2:x + 4y - 4 = 0$，则$l_1$与$l_2$重合，不符合题意；当$m = -\frac{2}{3}$时，$l_1:-2x + 8y - 12 = 0$，即$x - 4y + 6 = 0$，$l_2:x - 4y - 4 = 0$，$l_1$与$l_2$不重合，故$l_1// l_2$。综上所述，$m = -\frac{2}{3}$时，$l_1$与$l_2$平行。@@（2）当$l_1$与$l_2$垂直时，$3m×1 + 6m×8 = 0$，解得$m = 0$。所以$m = 0$时，$l_1$与$l_2$垂直。

【例3】一条光线从点$A(2,4)$射出，倾斜角为$60^{\circ}$，遇$x$轴后反射，则反射光线所在的直线方程为 （ ）
A. $\sqrt{3}x - y + 4 - 2\sqrt{3} = 0$
B. $x - \sqrt{3}y - 2 - 4\sqrt{3} = 0$
C. $\sqrt{3}x + y + 4 - 2\sqrt{3} = 0$
D. $x + \sqrt{3}y - 2 - 4\sqrt{3} = 0$

答案： C 解析 因入射光线与反射光线所在的直线关于$x$轴对称，所以反射光线所在直线经过点$(2,-4)$，倾斜角为$120^{\circ}$，其反射光线所在直线的方程是$y - (-4) = -\sqrt{3}(x - 2)$，即$\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3} + 4 = 0$，故选C。

【变式训练】把本例中的条件变为“一条光线从点$A(2,4)$射出，遇$x$轴后反射，反射光线经过点$B(5,2)$”，试求反射光线的直线方程。

答案： 解 点$A(2,4)$关于$x$轴的对称点$A'(2,-4)$，由镜面反射原理，点$A'$在反射光线的反向延长线上，又因为$k_{A'B}=\frac{2 + 4}{5 - 2}=2$，所以反射光线所在的直线方程为$y - 2 = 2(x - 5)$，即$2x - y - 8 = 0$。