《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

5. 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程。
（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为$\frac{1}{2}$，焦距为8；
（2）已知椭圆的离心率为$e=\frac{2}{3}$，短轴长为$8\sqrt{5}$。

答案： 解： （1）由题意知，$2c = 8$，$c = 4$，所以$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{a}=\frac{1}{2}$，所以$a = 8$，从而$b^{2}=a^{2}-c^{2}=48$，所以椭圆的标准方程是$\frac{y^{2}}{64}+\frac{x^{2}}{48}=1$。 （2）由$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$得$c=\frac{2}{3}a$，又$2b = 8\sqrt{5}$，$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以$a^{2}=144$，$b^{2}=80$，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{80}=1$或$\frac{x^{2}}{80}+\frac{y^{2}}{144}=1$。

【例1】 已知直线$l:y = 2x + m$，椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$。试问当$m$取何值时，直线$l$与椭圆$C$：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？

答案： 解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 $\begin{cases}y = 2x + m ①\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1 ②\end{cases}$，将①代入②，整理得$9x^{2}+8mx + 2m^{2}-4 = 0$ ③，这个关于x的一元二次方程的判别式$\Delta=(8m)^{2}-4×9×(2m^{2}-4)= - 8m^{2}+144$。
(1)由$\Delta＞0$，得$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$。于是，当$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解。这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点。
(2)由$\Delta = 0$，得$m=\pm3\sqrt{2}$。也就是当$m=\pm3\sqrt{2}$时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解。这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点。
(3)由$\Delta＜0$，得$m＜-3\sqrt{2}$或$m＞3\sqrt{2}$。从而当$m＜-3\sqrt{2}$或$m＞3\sqrt{2}$时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解。这时直线l与椭圆C没有公共点。

【变式训练】 在平面直角坐标系$xOy$中，经过点$(0,\sqrt{2})$且斜率为$k$的直线$l$与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$有两个不同的交点$P$和$Q$，求$k$的取值范围。

答案： 解 由已知条件知直线l的方程为$y = kx+\sqrt{2}$，代入椭圆方程得$\frac{x^{2}}{2}+(kx+\sqrt{2})^{2}=1$，整理得$(\frac{1}{2}+k^{2})x^{2}+2\sqrt{2}kx + 1 = 0$，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于$\Delta = 8k^{2}-4(\frac{1}{2}+k^{2})=4k^{2}-2＞0$，解得$k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以k的取值范围为$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$。