《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 空间向量的概念
（1）在空间，把具有_______和_______的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的_______或_______。空间向量用字母$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\cdots$表示。
空间向量也用有向线段表示，有向线段的_______表示空间向量的模。如图，向量$\boldsymbol{a}$的起点是$A$，终点是$B$，则向量$\boldsymbol{a}$也可以记作$\overrightarrow{AB}$，其模记为$|\boldsymbol{a}|$或$|\overrightarrow{AB}|$。
（2）几类特殊的空间向量。
|名称|定义及表示|
| ---- | ---- |
|零向量|长度为0的向量叫做零向量，记为$\boldsymbol{0}$|
|单位向量|长度为1的向量叫做单位向量|
|相反向量|与向量$\boldsymbol{a}$长度相等而方向相反的向量，叫做$\boldsymbol{a}$的相反向量，记为$-\boldsymbol{a}$|
|相等向量|方向相同且模相等的向量叫做相等向量。在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量|
|共线向量（平行向量）|如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量|

答案： 大小@@方向@@长度@@模@@长度@@零向量@@模为1@@相等@@相反@@相同@@相等@@同向@@等长@@互相平行或重合@@共线向量@@

2. 空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
|空间向量的运算| | |
| ---- | ---- | ---- |
|加法|$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$|
|减法|$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}$||
|数乘|当$\lambda＞0$时，$\lambda\boldsymbol{a}=\lambda\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{PQ}$；当$\lambda = 0$时，$\lambda\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$；当$\lambda＜0$时，$\lambda\boldsymbol{a}=\lambda\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MN}$||
|线性运算的运算律|（1）交换律：$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$；
（2）结合律：$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，$\lambda(\mu\boldsymbol{a}) = (\lambda\mu)\boldsymbol{a}$；
（3）分配律：$(\lambda+\mu)\boldsymbol{a}$=_______，$\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$=_______。$(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$| |

答案： $\lambda a+\mu a$@@$\lambda a+\lambda b$@@

3. 向量共线的充要条件
对任意两个空间向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0})$，$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充要条件是存在_______，使$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$。

答案： 实数$\lambda$@@

5. 共面向量
（1）定义：平行于_______的向量，叫做共面向量。
（2）充要条件：如果两个向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线，那么向量$\boldsymbol{p}$与向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$\boldsymbol{p}$=_______。

答案： 同一个平面@@xa + yb@@

微思考
1. 向量共面是不是向量在同一平面内？
2. 空间任意两个向量是否一定共面？三个向量呢？

答案： 提示：向量共面是指向量平行于同一平面，并不一定在同一平面内，可将向量平移到同一个平面内。向量共面中的向量所在的直线可能相交、平行或异面。@@提示：空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面。