《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 1，$PD\perp$ 平面 $ABCD$，且 $PD = 1$，E，F 分别为 $AB$，$BC$ 的中点。
(1) 求点 D 到平面 $PEF$ 的距离；
(2) 求直线 $AC$ 到平面 $PEF$ 的距离。

答案：
解：
(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，
则$D(0,0,0)$，$P(0,0,1)$，$A(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，$E(1,\frac{1}{2},0)$，$F(\frac{1}{2},1,0)$，则$\overrightarrow{PE}=(1,\frac{1}{2},-1)$，$\overrightarrow{PF}=(\frac{1}{2},1,-1)$。设平面$PEF$的法向量为$n=(x,y,z)$，则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{PE}=0\\n\cdot\overrightarrow{PF}=0\end{cases}$，所以$\begin{cases}x+\frac{1}{2}y - z = 0\\\frac{1}{2}x + y - z = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}z=\frac{3}{2}y\\x = y\end{cases}$，令$y = 2$，则$n=(2,2,3)$为平面$PEF$的一个法向量，又$\overrightarrow{DP}=(0,0,1)$，所以点$D$到平面$PEF$的距离为$\frac{|\overrightarrow{DP}\cdot n|}{|n|}=\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$。
(2) 由于$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点，所以$EF\parallel AC$，又$EF\subset$平面$PEF$，$AC\not\subset$平面$PEF$，所以$AC\parallel$平面$PEF$，所以$A$点到平面$PEF$的距离即为直线$AC$到平面$PEF$的距离。由于$\overrightarrow{AE}=(0,\frac{1}{2},0)$，又由
(1)知平面$PEF$的一个法向量为$n=(2,2,3)$，所以点$A$到平面$PEF$的距离为$\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot n|}{|n|}=\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$，即直线$AC$到平面$PEF$的距离为$\frac{\sqrt{17}}{17}$。

1. 已知直线 l 过定点 $A(2,3,1)$，且 $\boldsymbol{n}=(0,1,1)$ 为其一个方向向量，则点 $P(4,3,2)$ 到直线 l 的距离为 （ ）
A. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
D. $\sqrt{2}$

答案： A

2. 已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $A(1,-1,2)$，$B(5,-6,2)$，$C(1,3,-1)$，则 $AC$ 边上的高 $BD$ 的长等于 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： C

3. 已知向量 $\boldsymbol{n}=(2,0,1)$ 为平面 $\alpha$ 的法向量，点 $A(-1,2,1)$ 在 $\alpha$ 内，则点 $P(1,2,-2)$ 到 $\alpha$ 的距离为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\sqrt{5}$
C. $2\sqrt{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{10}$

答案： A

4. 如图所示，在直二面角 $D - AB - E$ 中，四边形 $ABCD$ 是边长为 2 的正方形，$\triangle AEB$ 是等腰直角三角形，其中 $\angle AEB = 90^{\circ}$，则点 D 到平面 $ACE$ 的距离为 。

答案： $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

5. 如图，在直棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，底面为直角梯形，$AB// CD$，且 $\angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 1$，$CD = \sqrt{3}$，$BC = 2$，$AA_{1} = 2$，E 是 $CC_{1}$ 的中点，求直线 $A_{1}B_{1}$ 与平面 $ABE$ 的距离。

答案：
解：如图，以$D$为原点，分别以$DA$，$DC$，$DD_1$所在直线为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系$Dxyz$，
则$A_1(1,0,2)$，$A(1,0,0)$，$E(0,\sqrt{3},1)$，$C(0,\sqrt{3},0)$。过点$C$作$AB$的垂线交$AB$于点$F$，易得$BF=\sqrt{3}$，所以$B(1,2\sqrt{3},0)$，所以$\overrightarrow{AB}=(0,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{BE}=(-1,-\sqrt{3},1)$。设平面$ABE$的法向量为$n=(x,y,z)$，则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{AB}=0\\n\cdot\overrightarrow{BE}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2\sqrt{3}y = 0\\-x-\sqrt{3}y + z = 0\end{cases}$，所以$\begin{cases}y = 0\\x = z\end{cases}$，不妨取$n=(1,0,1)$为平面$ABE$的一个法向量。因为$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,2)$，所以点$A_1$到平面$ABE$的距离为$\frac{|\overrightarrow{AA_1}\cdot n|}{|n|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。由直棱柱的性质可得$A_1B_1\parallel AB$，因为$A_1B_1\not\subset$平面$ABE$，$AB\subset$平面$ABE$，所以直线$A_1B_1\parallel$平面$ABE$，所以直线$A_1B_1$与平面$ABE$的距离等于点$A_1$到平面$ABE$的距离，所以直线$A_1B_1$与平面$ABE$的距离为$\sqrt{2}$。