《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 两条异面直线所成的角
设异面直线$l_{1},l_{2}$所成的角为$\theta$，其方向向量分别为$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，则$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle|=$ ________。

答案： $\left|\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}\right|$@@$\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$@@

2. 直线与平面所成的角
直线$AB$与平面$\alpha$相交于$B$，设直线$AB$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$，直线$AB$的方向向量为$\boldsymbol{u}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$，则$\sin\theta ________=________。

答案： $\left|\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}\right|$@@$\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$@@

3. 平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面$\alpha$与平面$\beta$相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于$90^{\circ}$的二面角称为平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角。
(2)两平面夹角的计算：若平面$\alpha,\beta$的法向量分别是$\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$，设平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\rangle|=______=_______ 。

答案： $\left|\frac{\boldsymbol{n}_{1} \cdot \boldsymbol{n}_{2}}{|\boldsymbol{n}_{1}||\boldsymbol{n}_{2}|}\right|$@@$\frac{\boldsymbol{n}_{1} \cdot \boldsymbol{n}_{2}}{|\boldsymbol{n}_{1}||\boldsymbol{n}_{2}|}$@@

微思考
1. 两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么关系？
2. 直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量的夹角吗？
3. 两个平面所成的二面角就是两个平面的法向量的夹角吗？

答案： 提示：相等或互补。@@提示：不等于，直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量夹角（或其补角）互余。@@提示：不一定，是法向量的夹角或其补角。

【例1】 如图所示，在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AA_{1}\perp$底面$ABC$，$AB = BC = AA_{1}$，$\angle ABC=90^{\circ}$，点$E,F$分别是棱$AB,BB_{1}$的中点，试求直线$EF$和$BC_{1}$所成角的大小。

听课记录
反思感悟
利用向量法求两条异面直线所成角的步骤：
(1)确定两条异面直线的方向向量；
(2)确定两个向量夹角的余弦值；
(3)比较余弦值与$0$的大小，以确定向量夹角的范围；
(4)确定异面直线所成的角与向量夹角的关系，得出两条异面直线所成的角。

答案： 解：分别以直线$BC$，$BA$，$BB_1$为$x$，$y$，$z$轴，建立空间直角坐标系（如图）。设$AB = 1$，则$B(0,0,0)$，$E\left(0,\frac{1}{2},0\right)$，$F\left(0,0,\frac{1}{2}\right)$，$C_1(1,0,1)$，所以$\overrightarrow{EF}=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{BC_1}=(1,0,1)$。于是$\cos\langle\overrightarrow{BC_1},\overrightarrow{EF}\rangle=\frac{\overrightarrow{BC_1} \cdot \overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{BC_1}||\overrightarrow{EF}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{2}$，所以直线$EF$和$BC_1$所成角的大小为$60^{\circ}$。