《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】 求圆$C_1:x^{2}+y^{2}=1$与圆$C_2:x^{2}+y^{2}-2x - 2y + 1 = 0$的公共弦所在的直线$l$被圆$C_3:(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=\frac{25}{4}$截得的弦长。

答案： 解 由题意将两圆的方程相减，可得圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 的公共弦所在的直线 $l$ 的方程为 $x + y - 1 = 0$。又圆 $C_3$ 的圆心坐标为 $(1,1)$，其到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{|1 + 1 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以所求弦长为 $2\sqrt{\frac{25}{4}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{23}$。

【典例】 圆心在直线$x - y - 4 = 0$上，且经过两圆$x^{2}+y^{2}+6x - 4 = 0$和$x^{2}+y^{2}+6y - 28 = 0$的交点的圆的方程为 （ ）
A. $x^{2}+y^{2}-x + 7y - 32 = 0$
B. $x^{2}+y^{2}-x + 7y - 16 = 0$
C. $x^{2}+y^{2}-4x + 4y + 9 = 0$
D. $x^{2}+y^{2}-4x + 4y - 8 = 0$

答案： A