《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

观察下列4条直线方程：$l_1:y - 2 = 3(x - 1)$；$l_2:y = 3x - 1$；$l_3:\frac{y - 2}{5 - 2}=\frac{x - 1}{1 - 0}$；$l_4:\frac{x}{\frac{1}{3}}+\frac{y}{-1}=1$，会发现它们表示同一条直线，那么它们有没有统一的形式呢？

答案：

1. 直线的一般式方程
我们把关于$x$，$y$的二元一次方程____________________（其中$A$，$B$不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。

答案： $Ax + By + C = 0$

微思考
1. 方程$y - y_0 = 0$是二元一次方程吗？
2. 在方程$Ax + By + C = 0$（$A$，$B$不同时为零）中，$A$，$B$，$C$为何值时，方程表示的直线(1)平行于$x$轴；(2)平行于$y$轴；(3)与$x$轴重合；(4)与$y$轴重合。

答案： 提示：是，因为此时方程中$x$的系数为0。@@提示：当$A = 0$时，方程变为$y = -\frac{C}{B}$，当$C\neq0$时表示的直线平行于$x$轴，当$C = 0$时与$x$轴重合；当$B = 0$时，方程变为$x = -\frac{C}{A}$，当$C\neq0$时表示的直线平行于$y$轴，当$C = 0$时与$y$轴重合。

【例1】根据下列条件求直线的一般式方程。
(1)直线的斜率为2，且经过点$A(1,3)$；
(2)斜率为$\sqrt{3}$，且在$y$轴上的截距为4；
(3)经过两点$A(2,-3)$，$B(-1,-5)$；
(4)在$x$，$y$轴上的截距分别为2，-4。

答案： 解 （1）因为$k = 2$，且经过点$A(1,3)$，由直线的点斜式方程可得$y - 3 = 2(x - 1)$，整理可得$2x - y + 1 = 0$，所以直线的一般式方程为$2x - y + 1 = 0$。@@（2）由直线的斜率$k = \sqrt{3}$，且在$y$轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为$y = \sqrt{3}x + 4$。整理可得直线的一般式方程为$\sqrt{3}x - y + 4 = 0$。@@（3）由直线的两点式方程可得$\frac{y - (-3)}{-5 - (-3)} = \frac{x - 2}{-1 - 2}$，整理得直线的一般式方程为$2x - 3y - 13 = 0$。@@（4）由直线的截距式方程可得$\frac{x}{2} + \frac{y}{-4} = 1$，整理得直线的一般式方程为$2x - y - 4 = 0$。

【变式训练】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程。
(1)斜率是$\sqrt{3}$且经过点$A(5,3)$；
(2)经过$A(-1,5)$，$B(2,-1)$两点；
(3)在$x$，$y$轴上的截距分别是-3，-1。

答案： 解 （1）由点斜式方程得$y - 3 = \sqrt{3}(x - 5)$，整理得$\sqrt{3}x - y + 3 - 5\sqrt{3} = 0$。@@（2）由两点式方程得$\frac{y - 5}{-1 - 5} = \frac{x - (-1)}{2 - (-1)}$，整理得$2x + y - 3 = 0$。@@（3）由截距式方程得$\frac{x}{-3} + \frac{y}{-1} = 1$，整理得$x + 3y + 3 = 0$。