《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

5. 求下列圆的标准方程。
（1）圆心是$(4,-1)$，且过点$(5,2)$；
（2）圆心在$y$轴上，半径长为$5$，且过点$(3,-4)$；
（3）求过两点$C(-1,1)$和$D(1,3)$，圆心在$x$轴上的圆的标准方程。

答案： 解：
(1)圆心为$C(4, -1)$，半径$r = \sqrt{(5 - 4)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{10}$，所以圆的标准方程为$(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 10$。
(2)设圆心为$C(0, b)$，所以$r = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - b)^2} = 5$，所以$(4 + b)^2 = 16 = 4^2$，所以$4 + b = 4$或$4 + b = -4$，所以$b = 0$或$b = -8$，所以圆的标准方程为$x^2 + y^2 = 25$或$x^2 + (y + 8)^2 = 25$。
(3)设圆心为$M(a, 0)$，因为$|MC| = |MD|$，所以$(a + 1)^2 + (0 - 1)^2 = (a - 1)^2 + (0 - 3)^2$，即$a^2 + 2a + 1 + 1 = a^2 - 2a + 1 + 9$，所以$a = 2$，$r = |MC| = \sqrt{10}$，所以圆的标准方程为$(x - 2)^2 + y^2 = 10$。

前面我们已讨论了圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，现将其展开可得$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$。可见，任何一个圆的方程都可以变形为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$的形式。请大家思考一下，形如$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$的方程表示的曲线是不是圆？

答案：

1. 圆的一般方程的定义
将方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$的左边配方，并把常数项移到右边，得____________________。
(1)当____________________时，方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$叫做圆的一般方程，其圆心为_______，半径为___________。
(2)当$D^2 + E^2 - 4F = 0$时，方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$表示____________________。
(3)当____________________时，方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$不表示任何图形。

答案： $(x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$@@$D^2 + E^2 - 4F＞0$@@$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$@@$\frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$@@点$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$@@$D^2 + E^2 - 4F＜0$

微思考
1. 方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$一定表示圆吗？
2. 如果点$P(x_0,y_0)$在圆$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$内，那么应满足什么关系式？在圆外呢？

答案： 提示：不一定。只有$D^2 + E^2 - 4F＞0$时表示圆，否则不表示圆。@@提示：若点$P$在圆内，则$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F＜0$；若点$P$在圆外，则$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F＞0$。