《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

两条不重合的直线$l_1$,$l_2$的斜率分别为$k_1$,$k_2$
(1)定理。
| |平行|垂直|
|--|--|--|
|等价条件|$l_1// l_2\Leftrightarrow$______|$l_1\perp l_2\Leftrightarrow$______|
(2)本质：从数的角度刻画两条直线的位置关系。

答案： $k_1 = k_2$@@$k_1k_2 = -1$

【例1】根据下列给定的条件，判断直线$l_1$与直线$l_2$是否平行。
(1)$l_1$经过点$A(2,1)$,$B(-3,5)$,$l_2$经过点$C(3,-3)$,$D(8,-7)$;
(2)$l_1$经过点$E(0,1)$,$F(-2,-1)$,$l_2$经过点$G(3,4)$,$H(2,3)$;
(3)$l_1$的倾斜角为$60^{\circ}$,$l_2$经过点$M(1,\sqrt{3})$,$N(-2,-2\sqrt{3})$;
(4)$l_1$平行于$y$轴,$l_2$经过点$P(0,-2)$,$Q(0,5)$。

答案： 解
(1) 由题意知，$k_1 = \frac{5 - 1}{-3 - 2} = -\frac{4}{5}$，$k_2 = \frac{-7 + 3}{8 - 3} = -\frac{4}{5}$，所以直线$l_1$与直线$l_2$平行或重合，又$k_{BC} = \frac{5 - (-3)}{-3 - 3} = -\frac{4}{3} \neq -\frac{4}{5}$，故$l_1// l_2$。
(2) 由题意知，$k_1 = \frac{-1 - 1}{-2 - 0} = 1$，$k_2 = \frac{3 - 4}{2 - 3} = 1$，所以直线$l_1$与直线$l_2$平行或重合，$k_{FG} = \frac{4 - (-1)}{3 - (-2)} = 1$，故直线$l_1$与直线$l_2$重合。
(3) 由题意知，$k_1 = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$，$k_2 = \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{-2 - 1} = \sqrt{3}$，$k_1 = k_2$，所以直线$l_1$与直线$l_2$平行或重合。
(4) 由题意知，$l_1$的斜率不存在，且不是$y$轴，$l_2$的斜率也不存在，恰好是$y$轴。所以$l_1// l_2$。

【变式训练】(1)经过两点$C(3,1)$,$D(-2,0)$的直线$l_1$,与经过点$M(1,-4)$且斜率为$\frac{1}{5}$的直线$l_2$的位置关系为（ ）
A.平行
B.垂直
C.重合
D.无法确定

答案： A 解析 因为$k_{l_1} = \frac{0 - 1}{-2 - 3} = \frac{1}{5}$，所以$k_{l_1} = k_{l_2}$。又因为$k_{MD} = \frac{0 + 4}{-2 - 1} = -\frac{4}{3} \neq \frac{1}{5}$，所以$l_1$与$l_2$不重合，所以$l_1$与$l_2$平行。

【变式训练】(2)在$\triangle ABC$中，顶点$A(0,3)$,$B(2,-1)$,$E$,$F$分别为边$AC$,$BC$的中点，则直线$EF$的斜率为________。

答案： -2 解析 因为$E$，$F$分别为边$AC$，$BC$的中点，所以$EF// AB$。所以$k_{EF} = k_{AB} = \frac{-1 - 3}{2 - 0} = -2$。

【例2】(1)直线$l_1$经过点$A(3,2)$,$B(3,-1)$,直线$l_2$经过点$M(1,1)$,$N(2,1)$,判断$l_1$与$l_2$是否垂直。
(2)已知直线$l_1$经过点$A(3,a)$,$B(a - 2,3)$,直线$l_2$经过点$C(2,3)$,$D(-1,a - 2)$,若$l_1\perp l_2$,求$a$的值。

答案：
(1) 解
(1) 直线$l_1$的斜率不存在，直线$l_2$的斜率为0，所以$l_1\perp l_2$。
(2) 解 由题意，知直线$l_2$的斜率$k_2$一定存在，直线$l_1$的斜率可能不存在。当直线$l_1$的斜率不存在时，$3 = a - 2$，即$a = 5$，此时$k_2 = 0$，则$l_1\perp l_2$，满足题意。当直线$l_1$的斜率$k_1$存在时，$a\neq5$，由斜率公式，得$k_1 = \frac{3 - a}{a - 2 - 3} = \frac{3 - a}{a - 5}$，$k_2 = \frac{a - 2 - 3}{-1 - 2} = \frac{a - 5}{-3}$。由$l_1\perp l_2$，知$k_1k_2 = -1$，即$\frac{3 - a}{a - 5}×(\frac{a - 5}{-3}) = -1$，解得$a = 0$。综上所述，$a$的值为0或5。