《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例 1】 已知点 A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以$\overrightarrow{AB}$的方向为正向，在直线 AB 上建立一条数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：
①AP：PB = 1：2；
②AQ：QB = 2：1。
求点 P 和点 Q 的坐标。

答案： 解
(1) 由已知，得 $\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{AP}$，即 $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}=2(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})$，$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$。设点 $P$ 坐标为 $(x,y,z)$，则上式换用坐标表示，得 $(x,y,z)=\frac{2}{3}(2,4,0)+\frac{1}{3}(1,3,3)=(\frac{5}{3},\frac{11}{3},1)$。因此 $P$ 点的坐标是 $(\frac{5}{3},\frac{11}{3},1)$。
(2) 因为 $AQ:QB = 2:1$，所以 $\overrightarrow{AQ}=-2\overrightarrow{QB}$，$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}=-2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OQ})$，$\overrightarrow{OQ}=-\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$。设点 $Q$ 的坐标为 $(x',y',z')$，则上式换用坐标表示，得 $(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6)$，因此 $Q$ 点的坐标是 $(0,2,6)$。

【变式训练】 已知点 A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C 为线段 AB 上一点且$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{3}$，则点 C 的坐标为 （ ）
A. $(\frac{7}{2},-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$
B. $(\frac{3}{8},-3,2)$
C. $(\frac{10}{3},-1,\frac{7}{3})$
D. $(\frac{5}{2},-\frac{7}{2},\frac{3}{2})$

答案： C 解析 设 $C(x,y,z)$，因为 $C$ 为线段 $AB$ 上一点且 $\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{3}$，所以 $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，即 $(x - 4,y - 1,z - 3)=\frac{1}{3}(-2,-6,-2)$，所以 $\begin{cases}x - 4=-\frac{2}{3}\\y - 1=-2\\z - 3=-\frac{2}{3}\end{cases}$，所以 $x=\frac{10}{3}$，$y=-1$，$z=\frac{7}{3}$。因此点 $C$ 的坐标为 $(\frac{10}{3},-1,\frac{7}{3})$。故选 C。

（1）已知直线 l 的一个方向向量$\boldsymbol{m}$=(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(－1，2，z)两点，则 y－z 等于 （ ）
A. 0
B. 1
C. $\frac{3}{2}$
D. 3

答案： A 解析 因为 $A(0,y,3)$ 和 $B(-1,2,z)$，所以 $\overrightarrow{AB}=(-1,2 - y,z - 3)$，因为直线 $l$ 的一个方向向量为 $\boldsymbol{m}=(2,-1,3)$，故设 $\overrightarrow{AB}=k\boldsymbol{m}$，所以 $\begin{cases}-1 = 2k\\2 - y=-k\\z - 3=3k\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\y=\frac{3}{2}\\z=\frac{3}{2}\end{cases}$，所以 $y - z = 0$。

（2）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD - A₁B₁C₁D₁为正方体，棱长为 1，则直线 DD₁的一个方向向量为______________，直线 BC₁的一个方向向量为__________。

答案： (0,0,1) $(0,1,1)$（答案不唯一） 解析 因为 $DD_1// AA_1$，$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,1)$，故直线 $DD_1$ 的一个方向向量为 $(0,0,1)$；因为 $BC_1// AD_1$，$\overrightarrow{AD_1}=(0,1,1)$，故直线 $BC_1$ 的一个方向向量为 $(0,1,1)$。