《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】求证：不论 $m$ 为何值，直线 $l:y = (m - 1)x + 2m + 1$ 总过第二象限。

答案： 证明 证法一：直线 $l$ 的方程可化为 $y - 3 = (m - 1)(x + 2)$，所以直线 $l$ 过定点 $(-2,3)$。由于点 $(-2,3)$ 在第二象限，故直线 $l$ 总过第二象限。 证法二：直线 $l$ 的方程可化为 $m(x + 2) - (x + y - 1) = 0$。令 $\begin{cases}x + 2 = 0\\x + y - 1 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = -2\\y = 3\end{cases}$。所以无论 $m$ 取何值，直线 $l$ 总经过点 $(-2,3)$。因为点 $(-2,3)$ 在第二象限，所以直线 $l$ 总过第二象限。

1. 直线 $l$ 的点斜式方程是 $y - 2 = 3(x + 1)$，则直线 $l$ 的斜率是（ ）
A. $2$
B. $-1$
C. $3$
D. $-3$

答案： C 解析 由直线的点斜式方程可知直线 $l$ 的斜率是 3。

2. 倾斜角为 $135^{\circ}$，在 $y$ 轴上的截距为 $-1$ 的直线方程是（ ）
A. $y = x + 1$
B. $y = x - 1$
C. $y = -x + 1$
D. $y = -x - 1$

答案： D 解析 由题意知，直线的斜率 $k = -1$，又在 $y$ 轴上的截距为 -1，故直线方程为 $y = -x - 1$。故选 D。

3. 直线 $y = k(x - 2) + 3$ 必过定点，该定点为（ ）
A. $(3,1)$
B. $(2,3)$
C. $(2,-3)$
D. $(-2,3)$

答案： B 解析 直线方程为 $y = k(x - 2) + 3$，可化为 $y - 3 = k(x - 2)$，所以过定点 $(2,3)$。

4. 已知直线 $l_1$ 的方程为 $y = -2x + 3$，$l_2$ 的方程为 $y = 4x - 2$，直线 $l$ 与 $l_1$ 的斜率相等且与 $l_2$ 在 $y$ 轴上的截距相同，则直线 $l$ 的方程是__________。

答案： $y = -2x - 2$ 解析 由斜截式方程知直线 $l_1$ 的斜率 $k_1 = -2$，所以 $l$ 的斜率 $k = k_1 = -2$。由题意知 $l_2$ 在 $y$ 轴上的截距为 -2，所以 $l$ 在 $y$ 轴上的截距 $b = -2$，由斜截式可得直线 $l$ 的方程为 $y = -2x - 2$。

5. 求斜率为 $\frac{1}{6}$，且与两坐标轴围成的三角形面积为 $3$ 的直线方程。

答案： 解 设直线方程为 $y = \frac{1}{6}x + b$，令 $x = 0$ 得 $y = b$，令 $y = 0$ 得 $x = -6b$，所以 $\frac{1}{2}|b|\times|-6b| = 3$，所以 $b^2 = 1$，即 $b = \pm1$，所以所求的直线方程为 $y = \frac{1}{6}x \pm 1$。

1. 直线的两点式方程

答案： 1. $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$不为0

2.直线的截距式方程

答案： 2. $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$不为0，直线不过原点。