《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例3】在四棱锥$P - ABCD$中，$PD\perp$平面$ABCD$，$PA$与平面$ABCD$所成的角为$60^{\circ}$，在四边形$ABCD$中，$\angle ADC = \angle DAB = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$CD = 1$，$AD = 2$。
（1）求$BP$的长；
（2）求异面直线$PA$与$BC$所成角的余弦值。

答案：
解： （1）如图，建立空间直角坐标系。
因为$\angle ADC=\angle DAB = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$CD = 1$，$AD = 2$，所以$A(2,0,0)$，$C(0,1,0)$，$B(2,4,0)$，由$PD\perp$平面$ABCD$，得$\angle PAD$为$PA$与平面$ABCD$所成的角，所以$\angle PAD = 60^{\circ}$。在$Rt\triangle PAD$中，由$AD = 2$，得$PD = 2\sqrt{3}$。所以$P(0,0,2\sqrt{3})$。所以$BP=\sqrt{(0 - 2)^2+(0 - 4)^2+(2\sqrt{3}-0)^2}=4\sqrt{2}$。 （2）由（1）得，$\overrightarrow{PA}=(2,0,-2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BC}=(-2,-3,0)$，所以$\cos\langle\overrightarrow{PA},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{2\times(-2)+0\times(-3)+(-2\sqrt{3})\times0}{4\times\sqrt{13}}=-\frac{\sqrt{13}}{13}$，所以异面直线$PA$与$BC$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$。

【变式训练】（1）已知$\triangle ABC$的三个顶点为$A(3,3,2)$，$B(4,-3,7)$，$C(0,5,1)$，则$BC$边上的中线长为___。
（2）如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$CA = CB = 1$，$\angle BCA = 90^{\circ}$，棱$AA_{1} = 2$，$N$为$A_{1}A$的中点。
①求$BN$的长；
②求$A_{1}B$与$B_{1}C$所成角的余弦值。

答案：
3。解析：设$BC$边的中点为$D$，则$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=(-1,-2,2)$，所以$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1 + 4 + 4}=3$。
@@解：如图，以$C$为原点，$CA$，$CB$，$CC_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系$C - xyz$。①依题意得$B(0,1,0)$，$N(1,0,1)$，所以$|\overrightarrow{BN}|=\sqrt{(1 - 0)^2+(0 - 1)^2+(1 - 0)^2}=\sqrt{3}$，所以$BN$的长为$\sqrt{3}$。 ②依题意得$A_1(1,0,2)$，$C(0,0,0)$，$B_1(0,1,2)$，所以$\overrightarrow{A_1B}=(-1,1,-2)$，$\overrightarrow{B_1C}=(0,-1,-2)$，所以$\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{B_1C}=(-1)\times0 + 1\times(-1)+(-2)\times(-2)=3$。又$|\overrightarrow{A_1B}|=\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{B_1C}|=\sqrt{5}$，所以$\cos\langle\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{B_1C}\rangle=\frac{\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{B_1C}}{|\overrightarrow{A_1B}||\overrightarrow{B_1C}|}=\frac{\sqrt{30}}{10}$。又异面直线所成角为锐角或直角，故$A_1B$与$B_1C$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$。

1.（多选）下列各组空间向量中，平行的是（ ）


A. $\boldsymbol{a}=(1,2,-2)$，$\boldsymbol{b}=(-2,-4,4)$
B. $\boldsymbol{a}=(1,0,0)$，$\boldsymbol{b}=(-5,0,0)$
C. $\boldsymbol{a}=(4,0,-2)$，$\boldsymbol{b}=(0,0,0)$
D. $\boldsymbol{a}=(2,5,-3)$，$\boldsymbol{b}=(-8,-20,-12)$

答案： $ABC$。解析：选项$A$中，$\boldsymbol{b}=-2\boldsymbol{a}$，所以两向量平行，同理$B$，$C$的两个向量也平行，$D$中两个向量不平行。

2. 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,0,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,0,-2)$，若$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}) = 2$，则$k$的值等于（ ）
A. $1$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{5}$

答案： $D$。解析：由已知得$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}|=2\sqrt{2}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，所以由$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}) = 2$可得$k|\boldsymbol{a}|^2 + k|\boldsymbol{b}|^2+(k^2 + 1)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2$，即$2k + 8k = 2$，解得$k=\frac{1}{5}$。

3. 若向量$\boldsymbol{a}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,1,-3)$，则$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=$___。

答案： $3\sqrt{2}$。解析：由于向量$\boldsymbol{a}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,1,-3)$，所以$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(4,-1,1)$。故$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{4^2+(-1)^2 + 1^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。