《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】（1）动点$P(x,y)$在直线$x + y - 4 = 0$上，$O$为原点，求$\vert OP\vert$最小时$P$点的坐标。
（2）求过点$P(1,2)$且与原点距离最大的直线方程。

答案： 解： （1）直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时$OP$垂直于已知直线，则$k_{OP}=1$，所以$OP$所在直线方程为$y = x$。由$\begin{cases}y = x\\x + y - 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$，所以$P$点坐标为$(2,2)$。 （2）由题意知过点$P$且与$OP$垂直的直线到原点$O$的距离最大，因为$k_{OP}=2$，所以所求直线的斜率为$-\frac{1}{2}$，所求直线方程为$y - 2=-\frac{1}{2}(x - 1)$，即$x + 2y - 5 = 0$。

【例4】两条互相平行的直线分别过点$A(6,2),B(-3,-1)$，并且各自绕着点$A,B$旋转，如果两条平行直线间的距离为$d$。
（1）求$d$的取值范围；
（2）求$d$取最大值时，两条直线的方程。

答案： 解： （1）设经过$A$点和$B$点的直线分别为$l_1$，$l_2$，显然当$\begin{cases}l_1\perp AB\\l_2\perp AB\end{cases}$时，$l_1$和$l_2$的距离最大，且最大值为$\vert AB\vert=\sqrt{(-3 - 6)^{2}+(-1 - 2)^{2}}=3\sqrt{10}$，所以$d$的取值范围为$(0,3\sqrt{10}]$。 （2）由（1）知$d_{max}=3\sqrt{10}$，$k_{AB}=\frac{-1 - 2}{-3 - 6}=\frac{1}{3}$，则所求两条直线的斜率为$k=-3$，所以两直线的方程分别为$3x + y-20 = 0$与$3x + y+10 = 0$。

【变式训练】已知$P,Q$分别是直线$3x + 4y - 5 = 0$与$6x + 8y + 5 = 0$上的动点，则$\vert PQ\vert$的最小值为（ ）
A. $3$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{3}{2}$

答案： D

1. 点$(4,-2)$到直线$y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}$的距离是（ ）
A. $1$
B. $2$
C. $\frac{6}{5}$
D. $6$

答案： B

2. 直线$x + y + 1 = 0$与直线$x + y - 1 = 0$之间的距离是（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $1$
D. $\frac{1}{2}$

答案： A

3. 经过两直线$x + 3y - 10 = 0$和$3x - y = 0$的交点，且和原点相距为$1$的直线方程为 。

答案： $x = 1$或$4x - 3y+5 = 0$

4. 若两条平行直线$Ax - 2y - 1 = 0$与$6x - 4y + C = 0$之间的距离为$\frac{\sqrt{13}}{2}$，则$C = 。

答案： $11$或$-15$

5. 已知直角坐标平面上三点$A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)$，过点$C$作$AB$的平行线交$x$轴于点$D$。
（1）求点$D$的坐标；
（2）求四边形$ABCD$的面积。

答案： 解： （1）根据题意，$A(5,1)$，$B(7,-3)$，则$k_{AB}=\frac{1-(-3)}{5 - 7}=-2$。又由$AB// CD$知，$k_{CD}=-2$，则直线$CD$的方程为$y + 8=-2(x - 2)$，即$2x + y+4 = 0$。令$y = 0$，解得$x=-2$，则$D(-2,0)$。 （2）因为$\vert AB\vert = 2\sqrt{5}$，$\vert CD\vert = 4\sqrt{5}$，$AB// CD$，故四边形$ABCD$为梯形，点$A(5,1)$到直线$CD:2x + y+4 = 0$的距离为$\frac{\vert10 + 1+4\vert}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}$，所以四边形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}\times(2\sqrt{5}+4\sqrt{5})\times3\sqrt{5}=45$。