《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 方程$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$和方程$(y - y_1)(x_2 - x_1)=(x - x_1)(y_2 - y_1)$的适用范围相同吗？

答案： 提示：不同。前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线。后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程。

2. 若$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$中$x_1 = x_2$，则直线方程怎样表示，若$y_1 = y_2$呢？

答案： 提示：若$x_1 = x_2$，则直线方程为$x = x_1$；若$y_1 = y_2$，则直线方程为$y = y_1$。

3. $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$是直线的截距式方程吗？

答案： 提示：不是。化为$\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$才是直线的截距式方程。

【例1】（1）若直线$l$经过点$A(2,-1)$，$B(2,7)$，则直线$l$的方程为________。
（2）若点$P(3,m)$在过点$A(2,-1)$，$B(-3,4)$的直线上，则$m =$________。

答案： $x = 2$ 解析 由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为$x = 2$。
@@$-2$ 解析 由直线方程的两点式得$\frac{y - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{x - 2}{-3 - 2}$，即$\frac{y + 1}{5} = \frac{x - 2}{-5}$。所以直线AB的方程为$y + 1 = -x + 2$，因为点$P(3,m)$在直线AB上，所以$m + 1 = -3 + 2$，得$m = -2$。

【变式训练】已知$\triangle ABC$的三个顶点坐标$A(2,-1)$，$B(2,2)$，$C(4,1)$，求三角形三条边所在的直线方程。

答案： 解 因为点$A(2,-1)$，$B(2,2)$，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为$x = 2$。因为$A(2,-1)$，$C(4,1)$，由直线方程的两点式可得AC的方程为$\frac{y - 1}{-1 - 1} = \frac{x - 4}{2 - 4}$，即$x - y - 3 = 0$。同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为$\frac{y - 2}{1 - 2} = \frac{x - 2}{4 - 2}$，即$x + 2y - 6 = 0$。所以AB，AC，BC三边所在的直线方程分别为$x = 2$，$x - y - 3 = 0$，$x + 2y - 6 = 0$。

【例2】直线$l$过点$P(-6,3)$，且它在$x$轴上的截距是它在$y$轴上截距的$3$倍，求直线$l$的方程。

答案： 解 ①当直线在y轴上的截距为零时，直线过原点，可设直线l的方程为$y = kx$。因为直线l过点$P(-6,3)$，所以$3 = -6k$，$k = -\frac{1}{2}$，所以直线l的方程为$y = -\frac{1}{2}x$，即$x + 2y = 0$。 ②当直线在y轴上的截距不为零时，由题意可设直线l的方程为$\frac{x}{3b} + \frac{y}{b} = 1$。又直线l过点$P(-6,3)$，所以$\frac{-6}{3b} + \frac{3}{b} = 1$，解得$b = 1$。所以直线l的方程为$\frac{x}{3} + y = 1$，即$x + 3y - 3 = 0$。综上所述，所求直线l的方程为$x + 2y = 0$或$x + 3y - 3 = 0$。