《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例1】（1）下列命题中为真命题的是（ ）
A. 向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BA}$的长度相等
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
（2）（多选）如图，在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，下列四对向量互为相反向量的是（ ）
A. $\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{C_{1}D_{1}}$ B. $\overrightarrow{AC_{1}}$与$\overrightarrow{BD_{1}}$
C. $\overrightarrow{AD_{1}}$与$\overrightarrow{C_{1}B}$ D. $\overrightarrow{A_{1}D}$与$\overrightarrow{B_{1}C}$

答案： A 解析 对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；对于选项D，向量$a$与向量$b$不相等，有可能它们的模相等，但方向不同。故选A。@@AC 解析 $\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{C_{1}D_{1}}$，$\overrightarrow{AD_{1}}$与$\overrightarrow{C_{1}B}$中的两向量长度相等，方向相反，均互为相反向量；$\overrightarrow{AC_{1}}$与$\overrightarrow{BD_{1}}$长度相等，方向不相反；$\overrightarrow{A_{1}D}$与$\overrightarrow{B_{1}C}$长度相等，方向相同。故互为相反向量的是A，C。

【变式训练】如图所示，以长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：

（1）试写出与$\overrightarrow{AB}$相等的所有向量；
（2）试写出$\overrightarrow{AA_{1}}$的相反向量；
（3）若$AB = AD = 2$，$AA_{1}=1$，求向量$\overrightarrow{AC_{1}}$的模。

答案： 解 （1）与向量$\overrightarrow{AB}$相等的所有向量（除它自身之外）有$\overrightarrow{A_{1}B_{1}}$，$\overrightarrow{DC}$及$\overrightarrow{D_{1}C_{1}}$。 （2）向量$\overrightarrow{AA_{1}}$的相反向量为$\overrightarrow{A_{1}A}$，$\overrightarrow{B_{1}B}$，$\overrightarrow{C_{1}C}$，$\overrightarrow{D_{1}D}$。 （3）$|\overrightarrow{AC_{1}}|=\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{BC}|^{2}+|\overrightarrow{CC_{1}}|^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3$。