《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1）设圆$C_1:x^{2}+y^{2}=1$与圆$C_2:(x - 2)^{2}+(y + 2)^{2}=1$，则圆$C_1$与$C_2$的位置关系是 （ ）
A. 相交
B. 外离
C. 外切
D. 内含

答案： B

（2）两圆$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=4$与$(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=9$的公切线有 （ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

答案： B 解析 两圆的圆心距为 $\sqrt{(2 + 1)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{10}$。两个圆的半径之和为 5，半径之差为 1。因为 $1＜\sqrt{10}＜5$，所以两个圆相交，公切线有 2 条。

（1）已知以$C(3,4)$为圆心的圆与圆$x^{2}+y^{2}=1$外切，则圆$C$的方程为 ____________。

答案： $(x - 3)^2+(y - 4)^2 = 16$ 解析 设圆 $C$ 的半径为 $r$，则圆 $C$ 的方程为 $(x - 3)^2+(y - 4)^2 = r^2$。由题意得两圆圆心距 $d=\sqrt{(3 - 0)^2+(4 - 0)^2}=5$，因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径之和，即 $5 = r + 1$，解得 $r = 4$。故圆 $C$ 的方程为 $(x - 3)^2+(y - 4)^2 = 16$。

（2）已知圆$O_1:x^{2}+y^{2}-8\sqrt{2}x - 8\sqrt{2}y + 48 = 0$，圆$O_2$过点$A(0,-4)$，若圆$O_2$与圆$O_1$相切于点$B(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$，求圆$O_2$的方程。

答案： 解 圆 $O_1$ 的方程变为 $(x - 4\sqrt{2})^2+(y - 4\sqrt{2})^2 = 16$，所以圆心 $O_1(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，因为圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 相切于点 $B(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$，所以圆 $O_2$ 的圆心在直线 $y = x$ 上，不妨设为 $(a,a)$，因为圆 $O_2$ 过点 $A(0, - 4)$，所以圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切，因为圆 $O_2$ 过 $B(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$，所以 $a^2+(a + 4)^2 = 2(a - 2\sqrt{2})^2$，所以 $a = 0$，所以圆 $O_2$ 的方程为 $x^2 + y^2 = 16$。

【变式训练】 圆$C_1:x^{2}+y^{2}-4x + 3 = 0$与圆$C_2:(x + 1)^{2}+(y - 4)^{2}=a$恰有三条公切线，则实数$a$的值是 （ ）
A. 4
B. 6
C. 16
D. 36

答案： C 解析 圆 $C_1$ 的标准方程为 $(x - 2)^2 + y^2 = 1$，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，因为 $\sqrt{(2 + 1)^2+(0 - 4)^2}=1+\sqrt{a}$，解得 $a = 16$。

【例3】 已知两圆$x^{2}+y^{2}-2x + 10y - 24 = 0$和$x^{2}+y^{2}+2x + 2y - 8 = 0$，判断两圆的位置关系。

答案： 解 将两圆方程配方化为标准方程，得 $C_1:(x - 1)^2+(y + 5)^2 = 50$，$C_2:(x + 1)^2+(y + 1)^2 = 10$，则圆 $C_1$ 的圆心为 $(1, - 5)$，半径 $r_1 = 5\sqrt{2}$。圆 $C_2$ 的圆心为 $( - 1, - 1)$，半径 $r_2=\sqrt{10}$。又因为 $|C_1C_2| = 2\sqrt{5}$，$r_1 + r_2 = 5\sqrt{2}+\sqrt{10}$，$r_1 - r_2 = 5\sqrt{2}-\sqrt{10}$，所以 $r_1 - r_2＜|C_1C_2|＜r_1 + r_2$，所以两圆相交。