《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例2】在三棱锥 $S - ABC$ 中，$\triangle ABC$ 是边长为 4 的正三角形，平面 $SAC\perp$ 平面 $ABC$，$SA = SC = 2\sqrt{3}$，M，N 分别为 $AB$，$SB$ 的中点，如图所示。求点 B 到平面 $CMN$ 的距离。

答案：
解：取$AC$的中点$O$，连接$OS$，$OB$。因为$SA = SC$，$AB = BC$，所以$AC\perp SO$，$AC\perp BO$。因为平面$SAC\perp$平面$ABC$，平面$SAC\cap$平面$ABC = AC$，所以$SO\perp$平面$ABC$。又$BO\subset$平面$ABC$，所以$SO\perp BO$。如图所示，分别以$OA$，$OB$，$OS$所在直线为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系$Oxyz$，
则$B(0,2\sqrt{3},0)$，$C(-2,0,0)$，$A(2,0,0)$，$S(0,0,2\sqrt{2})$，$M(1,\sqrt{3},0)$，$N(0,\sqrt{3},\sqrt{2})$。所以$\overrightarrow{CM}=(3,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{MN}=(-1,0,\sqrt{2})$，$\overrightarrow{MB}=(-1,\sqrt{3},0)$。设$n=(x,y,z)$为平面$CMN$的法向量，则$\begin{cases}\overrightarrow{CM}\cdot n = 3x+\sqrt{3}y = 0\\\overrightarrow{MN}\cdot n = -x+\sqrt{2}z = 0\end{cases}$，取$z = 1$，则$x=\sqrt{2}$，$y = -\sqrt{6}$，所以$n=(\sqrt{2},-\sqrt{6},1)$为平面$CMN$的一个法向量。所以点$B$到平面$CMN$的距离为$\frac{|n\cdot\overrightarrow{MB}|}{|n|}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。

在直三棱柱中，$AA_{1} = AB = BC = 3$，$AC = 2$，D 是 $AC$ 的中点。
(1) 求证：$B_{1}C//$ 平面 $A_{1}BD$；
(2) 求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1}BD$ 的距离。

答案：
解：
(1) 证明：连接$AB_1$交$A_1B$于点$E$，连接$DE$。因为$DE\parallel B_1C$，$DE\subset$平面$A_1BD$，$B_1C\not\subset$平面$A_1BD$，所以$B_1C\parallel$平面$A_1BD$。
(2) 如图建立空间直角坐标系，
则$D(0,0,0)$，$B_1(0,2\sqrt{2},3)$，$B(0,2\sqrt{2},0)$，$A_1(-1,0,3)$，$\overrightarrow{DB_1}=(0,2\sqrt{2},3)$，$\overrightarrow{DB}=(0,2\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{DA_1}=(-1,0,3)$。设平面$A_1BD$的法向量为$n=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{DB}\cdot n = 2\sqrt{2}y = 0\\\overrightarrow{DA_1}\cdot n = -x + 3z = 0\end{cases}$，取$x = 3$，则$z = 1$，所以$n=(3,0,1)$为平面$A_1BD$的一个法向量。故点$B_1$到平面$A_1BD$的距离为$\frac{|n\cdot\overrightarrow{DB_1}|}{|n|}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。 

【例3】设正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 2。
(1) 求直线 $B_{1}C$ 到平面 $A_{1}BD$ 的距离；
(2) 求平面 $A_{1}BD$ 与平面 $B_{1}CD_{1}$ 间的距离。

答案：
解：
(1) 如图建立空间直角坐标系，
则$D(0,0,0)$，$B(2,2,0)$，$A_1(2,0,2)$，$B_1(2,2,2)$，$C(0,2,0)$，所以$\overrightarrow{CB_1}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{DA_1}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，所以$\overrightarrow{CB_1}\parallel\overrightarrow{DA_1}$，即$CB_1\parallel DA_1$，又$CB_1\not\subset$平面$A_1BD$，$DA_1\subset$平面$A_1BD$，所以$B_1C\parallel$平面$A_1BD$，所以直线$B_1C$到平面$A_1BD$的距离等于点$B_1$到平面$A_1BD$的距离。设平面$A_1BD$的法向量为$n=(x,y,z)$，则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{DA_1}=2x + 2z = 0\\n\cdot\overrightarrow{DB}=2x + 2y = 0\end{cases}$，令$x = 1$，则$n=(1,-1,-1)$为平面$A_1BD$的一个法向量，又$\overrightarrow{A_1B_1}=(0,2,0)$，所以点$B_1$到平面$A_1BD$的距离$\frac{|\overrightarrow{A_1B_1}\cdot n|}{|n|}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即直线$B_1C$到平面$A_1BD$的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(2) 由
(1)知$B_1C\parallel$平面$A_1BD$，同理，$D_1B_1\parallel$平面$A_1BD$，$B_1C\cap D_1B_1 = B_1$，所以平面$A_1BD\parallel$平面$B_1CD_1$，即平面$A_1BD$与平面$B_1CD_1$间的距离等于点$B_1$到平面$A_1BD$的距离。由
(1)知，点$B_1$到平面$A_1BD$的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。所以平面$A_1BD$与平面$B_1CD_1$间的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。