《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 两圆之间存在以下三种位置关系
（1）两圆相交，有_______公共点。
（2）两圆相切，包括______与______ ，只有______公共点。
（3）两圆相离，包括______与______ ，没有公共点。

答案： 两个@@外切@@内切@@一个@@外离@@内含

1. 当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？

答案： 提示：当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也可能内含。

2. 在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分别为多少？

答案： 提示：当两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线。

【例1】 已知圆$C_1:x^{2}+y^{2}-2ax - 2y + a^{2}-15 = 0$，圆$C_2:x^{2}+y^{2}-4ax - 2y + 4a^{2}=0(a＞0)$。试求$a$为何值时，两圆$C_1$，$C_2$的位置关系为：
（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含。

答案： 解：圆 $C_1$，$C_2$ 的方程，经配方后可得 $C_1:(x - a)^2+(y - 1)^2 = 16$，$C_2:(x - 2a)^2+(y - 1)^2 = 1$。所以圆心 $C_1(a,1)$，$C_2(2a,1)$，半径 $r_1 = 4$，$r_2 = 1$。所以 $|C_1C_2|=\sqrt{(a - 2a)^2+(1 - 1)^2}=a$。
(1) 当 $|C_1C_2|=r_1 + r_2 = 5$，即 $a = 5$ 时，两圆外切；当 $|C_1C_2|=r_1 - r_2 = 3$，即 $a = 3$ 时，两圆内切。
(2) 当 $3＜|C_1C_2|＜5$，即 $3＜a＜5$ 时，两圆相交。
(3) 当 $|C_1C_2|＞5$，即 $a＞5$ 时，两圆外离。
(4) 当 $|C_1C_2|＜3$，即 $0＜a＜3$ 时，两圆内含。