《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

泰山为五岳之首，其十八盘更有名。十八盘岩层陡立，坡角70°～80°，在不足1 km的距离内升高400米，明人祈承赋《十八盘》诗：“拔地五千丈，冲霄十八盘，径从穷初觅，天向隙中观，重累行如画，孤悬峻若竿，生平饶胜具，此日骨尤寒。”泰山之雄伟，尽在十八盘，泰山之壮观，尽在攀登中。你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢？

答案：

1.直线的倾斜角
（1）直线倾斜角的定义。
当直线l与x轴相交时，我们以_______为基准，x轴_______与直线l_______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。
（2）直线倾斜角的取值范围
直线的倾斜角α的取值范围是_______，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_______。

答案： x轴@@正向@@向上@@0°≤α＜180°@@0°

2.直线的斜率
（1）斜率的定义。
我们把一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母k表示，即k = _______。倾斜角是_______的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率。
（2）斜率公式。
如果直线经过两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)（x₁≠x₂），可得斜率公式为k = _______。
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从_______和_______两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度。

答案： 正切值@@tanα@@90°@@$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$@@形@@数

3.直线的方向向量
设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)（其中x₁≠x₂）是直线l上的两点，则向量$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})$以及与它平行的非零向量都是直线的_______。若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k = _______。

答案： 方向向量@@$\frac{y}{x}$

微思考
1.每一条直线都有一个确定的倾斜角吗？每一条直线都有斜率吗？
2.斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
3.利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？
4.直线不与x轴垂直时，k是其斜率，则其一个方向向量是什么？

答案： 提示：每一条直线都有一个确定的倾斜角，但不一定都有斜率，当直线的倾斜角是$90^{\circ}$时，没有斜率。@@提示：当$k = \tan\alpha\lt0$时，倾斜角$\alpha$是钝角；当$k = \tan\alpha\gt0$时，倾斜角$\alpha$是锐角；当$k = \tan\alpha = 0$时，倾斜角$\alpha$是$0^{\circ}$。@@提示：不能，当直线与$x$轴垂直时，$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$无意义。@@提示：$(1,k)$（答案不唯一）。