《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例2】（1）（多选）如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，下列各式运算结果为$\overrightarrow{BD_{1}}$的是（ ）
A. $\overrightarrow{A_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A}-\overrightarrow{AB}$
B. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_{1}}-\overrightarrow{D_{1}C_{1}}$
C. $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DD_{1}}$
D. $\overrightarrow{B_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{DD_{1}}$
（2）化简$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})=$ 。

答案： AB 解析 A中，$\overrightarrow{A_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD_{1}}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD_{1}}$；B中，$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_{1}}-\overrightarrow{D_{1}C_{1}}=\overrightarrow{BC_{1}}+\overrightarrow{C_{1}D_{1}}=\overrightarrow{BD_{1}}$；C中，$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{B_{1}D}\neq\overrightarrow{BD_{1}}$；D中，$\overrightarrow{B_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{BD_{1}}+\overrightarrow{AA_{1}}\neq\overrightarrow{BD_{1}}$。故选AB。@@$0$ 解析 解法一：（转化为加法运算）$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=0$。 解法二：（转化为减法运算）$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=0$。

【变式训练】如图所示，在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$为$AC$的中点。
（1）化简：$\overrightarrow{A_{1}O}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$；
（2）设$E$是棱$DD_{1}$上的点，且$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DD_{1}}$，若$\overrightarrow{EO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_{1}}$，试求实数$x,y,z$的值。

答案： 解 （1）$\overrightarrow{A_{1}O}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{A_{1}O}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{A_{1}A}$。 （2）$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})-\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_{1}}$，所以$x = \frac{1}{2}$，$y = -\frac{1}{2}$，$z = -\frac{2}{3}$。

【例3】如图，四边形$ABCD$和$ABEF$都是平行四边形，且不共面，$M,N$分别是$AC,BF$的中点，则$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$是否共线？

答案： 解 解法一：因为$M$，$N$分别是$AC$，$BF$的中点，且四边形$ABCD$和$ABEF$都是平行四边形，所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$ ①。又因为$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$ ②，① + ②得$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CE}$，所以$\overrightarrow{CE}//\overrightarrow{MN}$，即$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$共线。 解法二：因为$M$，$N$分别是$AC$，$BF$的中点，且四边形$ABCD$和$ABEF$都是平行四边形，所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}$。所以$\overrightarrow{MN}//\overrightarrow{CE}$，即$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{CE}$共线。