《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例1】求点$P(3,-2)$到下列直线的距离：
（1）$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$；
（2）$y = 6$；
（3）$x = 4$。

答案： 解： （1）直线$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$化为一般式为$3x - 4y+1 = 0$，由点到直线的距离公式可得$d=\frac{\vert3\times3 - 4\times(-2)+1\vert}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{18}{5}$。 （2）因为直线$y = 6$与$y$轴垂直，所以点$P$到它的距离$d=\vert - 2 - 6\vert = 8$。 （3）因为直线$x = 4$与$x$轴垂直，所以点$P$到它的距离$d=\vert3 - 4\vert = 1$。

【变式训练】（1）若点$M(-2,1)$到直线$x + 2y + C = 0$的距离为$1$，则$C$的值为 。
（2）求过点$A(-1,2)$且到原点的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线方程。

答案： $\pm\sqrt{5}$@@解：显然直线$x = - 1$到原点的距离为$1$，所以所求直线的斜率是存在的。设所求直线的方程为$y - 2=k(x + 1)$，化成一般式为$kx - y+2 + k = 0$。由题意得$\frac{\vert2 + k\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$k=-1$或$k=-7$。故适合题意的直线方程为$y - 2=-(x + 1)$或$y - 2=-7(x + 1)$，即$x + y - 1 = 0$或$7x + y+5 = 0$。

【例2】（1）若直线$x - 2y - 1 = 0$与直线$x - 2y - c = 0$的距离为$2\sqrt{5}$，则实数$c$的值为 。
（2）两条平行直线$3x - 4y + 1 = 0$与$ax - 8y + c = 0$的距离为$3$，则$a = ，c = 。

答案： $11$或$-9$@@6@@$-28$或$32$

【变式训练】（1）直线$3x + 4y - 12 = 0$与$6x + 8y + 6 = 0$间的距离是 。
（2）与两条平行直线$l_{1}:3x - y + 9 = 0,l_{2}:3x - y - 3 = 0$等距离的直线方程是 。

答案： $3$@@$3x - y+3 = 0$

【例3】（1）若$x,y$满足$x + y + 1 = 0$，则$x^{2}+y^{2}-2x - 2y + 2$的最小值为（ ）
A. $2$
B. $\frac{9}{2}$
C. $3$
D. $4$

答案： B

（2）已知点$(1,-1)$关于直线$l_{1}:y = x$的对称点为$A$，设直线$l_{2}$经过点$A$，则当点$B(2,-1)$到直线$l_{2}$的距离最大时，直线$l_{2}$的方程为（ ）
A. $2x + 3y + 5 = 0$
B. $3x - 2y + 5 = 0$
C. $3x + 2y + 5 = 0$
D. $2x - 3y + 5 = 0$

答案： B