《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】保持例3中的点$P$不变，
（1）求点$P$关于$y$轴的对称点的坐标；
（2）求点$P$关于$Oyz$平面的对称点的坐标；
（3）求点$P$关于点$N(-5, 4, 3)$的对称点的坐标。

答案： 解
(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为$P_{1}(2,1,-4)$。
(2)由于点P关于Oyz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为$P_{2}(2,1,4)$。
(3)设所求对称点为$P_{3}(x,y,z)$，则点N为线段$PP_{3}$的中点，由中点坐标公式，可得$-5=\frac{-2 + x}{2}$，$4=\frac{1 + y}{2}$，$3=\frac{4 + z}{2}$，即$x = 2\times(-5)-(-2)=-8$，$y = 2\times4-1=7$，$z = 2\times3-4=2$，故$P_{3}(-8,7,2)$。

1. 在空间直角坐标系中，点$P(-1, -2, -3)$到$Oyz$平面的距离是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. $\sqrt{14}$

答案： A 解析 点P到Oyz平面的距离就是点P的横坐标的绝对值。

2. 已知点$A(3, 2, -3)$，则点$A$关于$y$轴的对称点的坐标是（ ）
A. $(-3, -2, 3)$
B. $(-3, 2, -3)$
C. $(-3, 2, 3)$
D. $(-3, -2, -3)$

答案： C 解析 关于y轴的对称点的纵坐标不变，横坐标与竖坐标是原来的相反数。

3. 在空间直角坐标系$Oxyz$中，下列说法正确的是（ ）
A. 向量$\overrightarrow{AB}$的坐标与点$B$的坐标相同
B. 向量$\overrightarrow{AB}$的坐标与点$A$的坐标相同
C. 向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{OB}$的坐标相同
D. 向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$的坐标相同

答案： D 解析 由$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$知$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$坐标相同。

4. 设$\{i, j, k\}$是空间向量的一个单位正交基底，$a = 2i - 4j + 5k$，$b = i + 2j - 3k$，则向量$a$，$b$的坐标分别为_______。

答案： (2,-4,5)，(1,2,-3)

5. 在直三棱柱$ABO - A_{1}B_{1}O_{1}$中，$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$，$AO = 4$，$BO = 2$，$AA_{1}=4$，$D$为$A_{1}B_{1}$的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求$\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{A_{1}B}$的坐标。

答案： 解 设与$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OO_{1}}$同向的单位方向向量分别为i，j，k。因为$\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{OD}=-(\overrightarrow{OO_{1}}+\overrightarrow{O_{1}D})=-[\overrightarrow{OO_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})]=-\overrightarrow{OO_{1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=-2i - j-4k$，所以$\overrightarrow{DO}=(-2,-1,-4)$。因为$\overrightarrow{A_{1}B}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA_{1}}=\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA_{1}})=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AA_{1}}=-4i + 2j-4k$，所以$\overrightarrow{A_{1}B}=(-4,2,-4)$。