《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 已知三条直线$l_1$，$l_2$，$l_3$的一个方向向量分别为$\boldsymbol{a}=(4, -1,0)$，$\boldsymbol{b}=(1,4,5)$，$\boldsymbol{c}=(-3,12, -9)$，则 （ ）
A. $l_1 \perp l_2$，但$l_1$与$l_3$不垂直
B. $l_1 \perp l_3$，但$l_1$与$l_2$不垂直
C. $l_2 \perp l_3$，但$l_2$与$l_1$不垂直
D. $l_1$，$l_2$，$l_3$两两互相垂直

答案： A 解析 因为 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(4,-1,0)\cdot(1,4,5)=4 - 4+0 = 0$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=(4,-1,0)\cdot(-3,12,-9)=-12 - 12+0=-24\neq0$，$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=(1,4,5)\cdot(-3,12,-9)=-3 + 48 - 45 = 0$，所以 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 不垂直，$\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}$，所以 $l_1\perp l_2$，$l_2\perp l_3$，但 $l_1$ 不垂直于 $l_3$。

2. （多选）给出下列命题，其中是真命题的是 （ ）
A. 若直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{a}=(1, -1,2)$，直线$m$的方向向量为$\boldsymbol{b}=(2,1, -\frac{1}{2})$，则$l$与$m$垂直
B. 若直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{a}=(0,1, -1)$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}=(1, -1, -1)$，则$l \perp \alpha$
C. 若平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{n}_1=(0,1,3)$，$\boldsymbol{n}_2=(1,0,2)$，则$\alpha \perp \beta$
D. 若平面$\alpha$经过三点$A(1,0, -1)$，$B(0,1,0)$，$C(-1,2,0)$，向量$\boldsymbol{n}=(1,u,t)$是平面$\alpha$的一个法向量，则$u + t = 1$

答案： AD 解析 对于 A，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\times2 - 1\times1+2\times(-\frac{1}{2})=0$，则 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以直线 $l$ 与 $m$ 垂直，故 A 是真命题。对于 B，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}=0$，则 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{n}$，所以 $l//\alpha$ 或 $l\subset\alpha$，故 B 是假命题。对于 C，$\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2 = 6$，所以 $\alpha\perp\beta$ 不成立，故 C 是假命题。对于 D，易得 $\overrightarrow{AB}=(-1,1,1)$，$\overrightarrow{BC}=(-1,1,0)$，因为向量 $\boldsymbol{n}=(1,u,t)$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量，所以 $\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BC}=0\end{cases}$，即 $\begin{cases}-1 + u + t = 0\\-1 + u = 0\end{cases}$，得 $u + t = 1$，故 D 是真命题。

3. 如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$AB = 2$，$AA_1 = \sqrt{3}$，$AD = 2\sqrt{2}$，$P$为$C_1D_1$的中点，$M$为$BC$的中点，则$AM$与$PM$的位置关系为 （ ）

A. 平行
B. 异面
C. 垂直
D. 以上都不对

答案：
C 解析 以 $D$ 为原点，分别以 $DA,DC,DD_1$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 $Dxyz$，
依题意可得 $D(0,0,0)$，$P(0,1,\sqrt{3})$，$A(2\sqrt{2},0,0)$，$M(\sqrt{2},2,0)$，所以 $\overrightarrow{PM}=(\sqrt{2},2,0)-(0,1,\sqrt{3})=(\sqrt{2},1,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AM}=(\sqrt{2},2,0)-(2\sqrt{2},0,0)=(-\sqrt{2},2,0)$，所以 $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{AM}=(\sqrt{2},1,-\sqrt{3})\cdot(-\sqrt{2},2,0)=0$，所以 $PM\perp AM$。

4. 已知$\boldsymbol{a}=(0,1,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,1,0)$，$\boldsymbol{c}=(1,0,1)$分别是平面$\alpha$，$\beta$，$\gamma$的法向量，则$\alpha$，$\beta$，$\gamma$三个平面中互相垂直的有 ________ 对。

答案： 0 解析 因为 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(0,1,1)\cdot(1,1,0)=1\neq0$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=(0,1,1)\cdot(1,0,1)=1\neq0$，$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=(1,1,0)\cdot(1,0,1)\neq0$，所以 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 中任意两个向量都不垂直，即 $\alpha,\beta,\gamma$ 中任意两个平面都不垂直。

5. 如图，四棱锥$P - ABCD$中，$PA \perp$底面$ABCD$，$AB \perp AD$，$AC \perp CD$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$PA = AB = BC = 2$，$E$是$PC$的中点。求证：
（1）$CD \perp AE$；
（2）$PD \perp$平面$ABE$。

答案：
证明 （1）以 $A$ 为原点，$AB,AD,AP$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，$D(0,\frac{4\sqrt{3}}{3},0)$，$P(0,0,2)$，$E(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1)$，所以 $\overrightarrow{CD}=(-1,\frac{\sqrt{3}}{3},0)$，$\overrightarrow{AE}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1)$，所以 $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AE}=-1\times\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+0\times1 = 0$，所以 $CD\perp AE$。@@（2）由（1），得 $\overrightarrow{PD}=(0,\frac{4\sqrt{3}}{3},-2)$，$\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{AE}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1)$，设向量 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$ 是平面 $ABE$ 的法向量，则 $\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=0\end{cases}$，得 $\begin{cases}2x = 0\\\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y + z = 0\end{cases}$，取 $y = 2$，则 $\boldsymbol{n}=(0,2,-\sqrt{3})$，所以 $\overrightarrow{PD}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\boldsymbol{n}$，所以 $\overrightarrow{PD}//\boldsymbol{n}$，所以 $PD\perp$ 平面 $ABE$。

如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点 A 处修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点，修一条公路到达 A 点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？

答案：

1. 直线外一点 P 到直线 l 的距离

如图，直线 l 的单位方向向量为 $\boldsymbol{u}$，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点。设 $\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{a}$，则向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 l 上的投影向量 $\overrightarrow{AQ}=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}$。在 $Rt\triangle APQ$ 中，由勾股定理，得点 P 到直线 l 的距离为 PQ =_______=_______.

答案： $\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^{2}-|\overrightarrow{AQ}|^{2}}$，$\sqrt{a^{2}-(a\cdot u)^{2}}$

2. 平面外一点 P 到平面 $\alpha$ 的距离

如图，已知平面 $\alpha$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}$，A 是平面 $\alpha$ 内的定点，P 是平面 $\alpha$ 外一点。过点 P 作平面 $\alpha$ 的垂线 l，交平面 $\alpha$ 于点 Q，则 $\boldsymbol{n}$ 是直线 l 的方向向量，且点 P 到平面 $\alpha$ 的距离就是 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 l 上的投影 $\overrightarrow{QP}$ 的长度。因此 PQ=_______=_______=_______。

答案： $\left|\overrightarrow{AP}\cdot\frac{n}{|n|}\right|$ ，$\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot n|}{|n|}$ ，$\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot n|}{|n|}$

微思考
1. 怎样求平行线之间的距离？
2. 怎样求线面、面面之间的距离？

答案： 1.提示：转化为点线距离。
2.提示：转化为点面距离。