《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

（1）（多选）若 M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是 （ ）
A. (2，2，6)
B. (1，1，3)
C. (3，1，1)
D. (－3，0，1)

答案： AB 解析 因为 $M$，$N$ 在直线 $l$ 上，所以 $\overrightarrow{MN}=(1,1,3)$，故向量 $(1,1,3)$，$(2,2,6)$ 都是直线 $l$ 的一个方向向量。

（2）在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形，E 在 PC 上，且 CE = 3EP，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{c}$，以{$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$}为空间的一个基底，求直线 AE 的一个方向向量。

答案：
解 如图所示，
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AP}=\frac{1}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{3}{4}\boldsymbol{c}$，故直线 $AE$ 的一个方向向量是 $\frac{1}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{3}{4}\boldsymbol{c}$。

【变式训练】 在正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁中，求证：$\overrightarrow{DB_{1}}$是平面 ACD₁的一个法向量。

答案：
证明 设正方体的棱长为 $1$，以 $D$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 $\overrightarrow{DB_1}=(1,1,1)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{AD_1}=(-1,0,1)$。于是有 $\overrightarrow{DB_1}\cdot\overrightarrow{AC}=0$，所以 $\overrightarrow{DB_1}\perp\overrightarrow{AC}$，即 $DB_1\perp AC$。同理，$DB_1\perp AD_1$，又 $AC\cap AD_1 = A$，$AC$，$AD_1\subset$ 平面 $ACD_1$，所以 $DB_1\perp$ 平面 $ACD_1$，从而 $\overrightarrow{DB_1}$ 是平面 $ACD_1$ 的一个法向量。

【例 3】 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，△PAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC = 60°，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 DEF 的一个法向量。

答案：
解 连接 $PF$，$CF$。因为 $PA = PB$，$F$ 为 $AB$ 的中点，所以 $PF\perp AB$，又因为平面 $PAB\perp$ 平面 $ABCD$，平面 $PAB\cap$ 平面 $ABCD = AB$，$PF\subset$ 平面 $PAB$，所以 $PF\perp$ 平面 $ABCD$。连接 $AC$，因为 $AB = BC$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以 $\triangle ABC$ 是等边三角形，所以 $CF\perp AB$。以 $F$ 为原点，建立空间直角坐标系 $Fxyz$（如图所示）
。由题意得 $F(0,0,0)$，$P(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$D(-1,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$C(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$E(0,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$。所以 $\overrightarrow{FE}=(0,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$，$\overrightarrow{FD}=(-1,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。设平面 $DEF$ 的法向量为 $\boldsymbol{m}=(x,y,z)$，则 $\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{FE}=0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{FD}=0\end{cases}$，即 $\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{4}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0\\-x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\end{cases}$，所以 $\begin{cases}z=-y\\x=\frac{\sqrt{3}}{2}y\end{cases}$，令 $y = 2$，则 $x=\sqrt{3}$，$z=-2$。所以平面 $DEF$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{m}=(\sqrt{3},2,-2)$。