《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例 2】 如图所示，正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为 1，$E$，$F$，$G$，$G_{1}$分别是棱$CC_{1}$，$BC$，$CD$，$A_{1}B_{1}$的中点。求证：
（1）$AD_{1}\perp G_{1}G$；
（2）$AD_{1}// EF$。

答案： 证明 设 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，则 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}| = 1$ 且 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=0$。
(1) 因为 $\overrightarrow{AD_{1}}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\overrightarrow{G_{1}G}=\overrightarrow{G_{1}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$，所以 $\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{G_{1}G}=(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\boldsymbol{b}^{2}-\boldsymbol{c}^{2}=0$，所以 $\overrightarrow{AD_{1}}\perp\overrightarrow{G_{1}G}$，所以 $AD_{1}\perp G_{1}G$。@@
(2) 因为 $\overrightarrow{AD_{1}}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CC_{1}}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$，所以 $\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD_{1}}$，所以 $AD_{1}// EF$。

【变式训练】 在空间四边形$OABC$中，$OB = OC$，$\angle AOB=\angle AOC=\frac{\pi}{3}$，求证：$OA\perp BC$。

答案：
证明 如图所示
，因为 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|\cdot\cos\angle AOC - |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cdot\cos\angle AOB = 0$，所以 $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{BC}$，所以 $OA\perp BC$。

【例 3】 在直三棱柱$ABC - A'B'C'$中，$AC = BC = AA'$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$，$E$分别为$AB$，$BB'$的中点。
（1）求证：$CE\perp A'D$；
（2）求异面直线$CE$与$AC'$所成角的余弦值。

答案： 解 设 $\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{CC'}=\boldsymbol{c}$，根据题意得 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}|,\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=0$。
(1) 证明：易知 $\overrightarrow{CE}=\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c},\overrightarrow{A'D}=-\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，所以 $\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{A'D}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}^{2}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}^{2}=0$。所以 $\overrightarrow{CE}\perp\overrightarrow{A'D}$，即 $CE\perp A'D$。@@
(2) 易知 $\overrightarrow{AC'}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$，所以 $|\overrightarrow{AC'}|=\sqrt{2}|\boldsymbol{a}|$，又 $\overrightarrow{CE}=\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$，所以 $|\overrightarrow{CE}|=\frac{\sqrt{5}}{2}|\boldsymbol{a}|$，因为 $\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{CE}=(-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c})=\frac{1}{2}\boldsymbol{c}^{2}=\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|^{2}$，$\cos\langle\overrightarrow{AC'},\overrightarrow{CE}\rangle=\frac{\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|^{2}}{\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}|\boldsymbol{a}|^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，即异面直线 $CE$ 与 $AC'$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$。

【变式训练】 在棱长为 2 的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别是$DD_{1}$，$BD$的中点，点$G$在棱$CD$上，且$CG=\frac{1}{3}CD$。
（1）证明：$EF\perp B_{1}C$；
（2）求$EF$与$C_{1}G$所成角的余弦值。

答案： 解
(1) 证明：设 $\overrightarrow{DA}=\boldsymbol{i},\overrightarrow{DC}=\boldsymbol{j},\overrightarrow{DD_{1}}=\boldsymbol{k}$，这三个向量不共面，且两两垂直，$\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ 构成空间的一个正交基底。所以 $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DF}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{k}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{j}-\frac{1}{2}\boldsymbol{k},\overrightarrow{B_{1}C}=\overrightarrow{B_{1}B}+\overrightarrow{BC}=-\boldsymbol{i}-\boldsymbol{k}$，所以 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{B_{1}C}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{j}-\frac{1}{2}\boldsymbol{k})\cdot(-\boldsymbol{i}-\boldsymbol{k})=-\frac{1}{2}|\boldsymbol{i}|^{2}+\frac{1}{2}|\boldsymbol{k}|^{2}=0$，所以 $EF\perp B_{1}C$。@@
(2) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{j}-\frac{1}{2}\boldsymbol{k},\overrightarrow{C_{1}G}=\overrightarrow{C_{1}C}+\overrightarrow{CG}=-\boldsymbol{k}-\frac{1}{3}\boldsymbol{j}$，$|\overrightarrow{EF}|^{2}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{j}-\frac{1}{2}\boldsymbol{k})^{2}=\frac{1}{4}|\boldsymbol{i}|^{2}+\frac{1}{4}|\boldsymbol{j}|^{2}+\frac{1}{4}|\boldsymbol{k}|^{2}=3$，$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{C_{1}G}|^{2}=(-\boldsymbol{k}-\frac{1}{3}\boldsymbol{j})^{2}=|\boldsymbol{k}|^{2}+\frac{1}{9}|\boldsymbol{j}|^{2}=4 + \frac{4}{9}=\frac{40}{9}$，$|\overrightarrow{C_{1}G}|=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，所以 $\cos\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{C_{1}G}\rangle=\frac{\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{C_{1}G}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{C_{1}G}|}=\frac{(\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{j}-\frac{1}{2}\boldsymbol{k})\cdot(-\boldsymbol{k}-\frac{1}{3}\boldsymbol{j})}{\sqrt{3}\times\frac{2\sqrt{10}}{3}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2\sqrt{30}}{3}}=\frac{\sqrt{30}}{15}$。即 $EF$ 与 $C_{1}G$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{15}$。