《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例1】 如图，已知空间四边形$ABCD$的每条边和对角线长都等于$1$，点$E$，$F$分别是$AB$，$AD$的中点，计算：
（1）$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BA}$；
（2）$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD}$；
（3）$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DC}$。

答案： 解
(1) $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{BA}|\cos\langle\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA}\rangle=\frac{1}{2}\times1\times1\times\cos60^{\circ}=\frac{1}{4}$，所以 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BA}=\frac{1}{4}$。
(2) $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{BD}|\cos\langle\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BD}\rangle=\frac{1}{2}\times1\times1\times\cos0^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}$。
(3) $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{DC}|\cos\langle\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DC}\rangle=\frac{1}{2}\times1\times1\times\cos120^{\circ}=-\frac{1}{4}$，所以 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DC}=-\frac{1}{4}$。

1）已知$\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{p}-2\boldsymbol{q}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{q}$，$\boldsymbol{p}$和$\boldsymbol{q}$是相互垂直的单位向量，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$（ ）
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

答案： 解析 因为 $\boldsymbol{p}\perp\boldsymbol{q}$ 且 $|\boldsymbol{p}| = |\boldsymbol{q}| = 1$，所以 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(3\boldsymbol{p}-2\boldsymbol{q})\cdot(\boldsymbol{p}+\boldsymbol{q})=3\boldsymbol{p}^{2}+\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}-2\boldsymbol{q}^{2}=3 + 0 - 2 = 1$。

（2）已知棱长为$1$的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的上底面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的中心为$O_{1}$，则$\overrightarrow{AO_{1}}\cdot\overrightarrow{AC}$的值为（ ）
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$

答案： 解析 $\overrightarrow{AO_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}O_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{A_{1}B_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}})=\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，则 $\overrightarrow{AO_{1}}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AD}|^{2}) = 1$。故选 C。

【例2】 已知$BB_{1}\perp$平面$ABC$，且$\triangle ABC$是$\angle B = 90^{\circ}$的等腰直角三角形，四边形$ABB_{1}A_{1}$和$BB_{1}C_{1}C$都是正方形，若$AB = a$，求异面直线$BA_{1}$与$AC$所成的角。

答案：
解 如图所示
。因为 $\overrightarrow{BA_{1}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB_{1}}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，所以 $\overrightarrow{BA_{1}}\cdot\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB_{1}})\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_{1}}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_{1}}\cdot\overrightarrow{BC}$。 因为 $AB\perp BC$，$BB_{1}\perp AB$，$BB_{1}\perp BC$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{BB_{1}}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{BB_{1}}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ 且 $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AB}=-a^{2}$。所以 $\overrightarrow{BA_{1}}\cdot\overrightarrow{AC}=-a^{2}$。又 $\overrightarrow{BA_{1}}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{BA_{1}}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cos\langle\overrightarrow{BA_{1}},\overrightarrow{AC}\rangle$，所以 $\cos\langle\overrightarrow{BA_{1}},\overrightarrow{AC}\rangle=\frac{-a^{2}}{\sqrt{2}a\cdot\sqrt{2}a}=-\frac{1}{2}$。又因为 $\langle\overrightarrow{BA_{1}},\overrightarrow{AC}\rangle\in[0,\pi]$，所以 $\langle\overrightarrow{BA_{1}},\overrightarrow{AC}\rangle = 120^{\circ}$，又因为异面直线所成的角是锐角或直角，所以异面直线 $BA_{1}$ 与 $AC$ 所成的角为 $60^{\circ}$。

【变式训练】已知空间四边形$ABCD$中，$\angle ACD = \angle BDC = 90^{\circ}$，且$AB = 2$，$CD = 1$，则$AB$与$CD$所成的角是（ ）
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

答案： 解析 因为 $\angle ACD=\angle BDC = 90^{\circ}$，所以 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}+|\overrightarrow{CD}|^{2}+\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CD}=|\overrightarrow{CD}|^{2}=1$，所以 $\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\rangle=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{1}{2}$，所以 $AB$ 与 $CD$ 所成的角为 $60^{\circ}$。