《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】（1）椭圆$C:4x^{2}+y^{2}=16$的长轴长、短轴长、焦点坐标依次为 （ ）
A. 8，4，$(\pm2\sqrt{3},0)$
B. 8，4，$(0,\pm2\sqrt{3})$
C. 4，2，$(\pm2\sqrt{3},0)$
D. 4，2，$(0,\pm2\sqrt{3})$

答案： B 解析：椭圆$C:4x^{2}+y^{2}=16$，即$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为$(0,\pm2\sqrt{3})$。

（2）若椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为 （ ）
A. 3，1
B. $2+\sqrt{3}$，$2-\sqrt{3}$
C. 2，1
D. $\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}-1$

答案： A 解析：椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，$a = 2$，$c = 1$，可得该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为$a + c = 3$，$a - c = 1$。

（3）椭圆$m^{2}x^{2}+4m^{2}y^{2}=1(m ＞ 0)$的离心率是________。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 解析：由已知得$\frac{x^{2}}{\frac{1}{m^{2}}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4m^{2}}}=1(m\gt0)$，因为$0\lt m^{2}\lt4m^{2}$，所以$\frac{1}{m^{2}}\gt\frac{1}{4m^{2}}$，所以椭圆的焦点在$x$轴上，并且长半轴长$a=\frac{1}{m}$，短半轴长$b=\frac{1}{2m}$，半焦距$c=\frac{\sqrt{3}}{2m}$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程。
（1）长轴长是10，离心率是$\frac{4}{5}$；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6。

答案： 解： （1）设椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$或$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$。由已知得$2a = 10$，$a = 5$。又因为$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，所以$c = 4$。所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=25 - 16 = 9$。所以椭圆方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$或$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{9}=1$。 （2）依题意可设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$。如图所示，$\triangle B_1FB_2$为等腰直角三角形，$OF$为斜边$B_1B_2$的中线（高），且$|OF| = c$，$|B_1B_2| = 2b$，则$b = 3$，$a^{2}=b^{2}+c^{2}=18$，故所求椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$。 ![img id=1]

【变式训练】已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且$\cos\angle OFA=\frac{2}{3}$，则椭圆的标准方程是________。

答案： $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$或$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 解析：因为椭圆的长轴长是6，$\cos\angle OFA=\frac{2}{3}$，所以点$A$不是长轴的端点（是短轴的端点）。所以$|OF| = c$，$|AF| = a = 3$，所以$\frac{c}{3}=\frac{2}{3}$，所以$c = 2$，$b^{2}=3^{2}-2^{2}=5$，所以椭圆的标准方程是$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$或$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$。

（1）已知$F_{1}$，$F_{2}$是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点。若$PF_{1}\perp PF_{2}$，且$\angle PF_{2}F_{1}=60^{\circ}$，则C的离心率为 （ ）
A. $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $2-\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
D. $\sqrt{3}-1$

答案： D 解析：在$Rt\triangle PF_1F_2$中，$\angle PF_2F_1 = 60^{\circ}$，不妨设椭圆焦点在$x$轴上，且焦距$|F_1F_2| = 2$，则$|PF_2| = 1$，$|PF_1|=\sqrt{3}$，由椭圆的定义可知，方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$中，$2a = 1+\sqrt{3}$，$2c = 2$，得$a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$c = 1$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。