《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

3. 若平面$\alpha//\beta$，则下面可以是这两个平面法向量的是 （ ）
A. $\boldsymbol{n}_{1}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{n}_{2}=(-3,2,1)$
B. $\boldsymbol{n}_{1}=(1,2,2)$，$\boldsymbol{n}_{2}=(-2,2,1)$
C. $\boldsymbol{n}_{1}=(1,1,1)$，$\boldsymbol{n}_{2}=(-2,2,1)$
D. $\boldsymbol{n}_{1}=(1,1,1)$，$\boldsymbol{n}_{2}=(-2,-2,-2)$

答案： D 解析：因为平面$\alpha // \beta$，所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合。

4. 已知直线$l//$平面$ABC$，且$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{a}=(2,m,1)$，$A(0,0,1)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，则实数$m$的值是______。

答案： -3 解析：因为$l //$平面$ABC$，所以存在实数$x$，$y$，使$\boldsymbol{a}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(0,1,-1)$，所以$(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x - y)$，所以$\begin{cases}2=x, \\ m=y, \\ 1=-x - y, \end{cases}$所以$m=-3$。

5. 如图所示，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$为底面$ABCD$的中心，$P$是$DD_{1}$的中点，设$Q$是$CC_{1}$上的点，问：当点$Q$在什么位置时，平面$D_{1}BQ//$平面$PAO$？

答案：
解：如图所示，以$D$为原点，分别以$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系，
在$CC_{1}$上任取一点$Q$，连接$BQ$，$D_{1}Q$。设正方体的棱长为$1$，则$O\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$，$P\left(0,0,\frac{1}{2}\right)$，$A(1,0,0)$，$B(1,1,0)$，$D_{1}(0,0,1)$，设$Q(0,1,m)$。 解法一：因为$\overrightarrow{OP}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{BD_{1}}=(-1,-1,1)$，所以$\overrightarrow{OP} // \overrightarrow{BD_{1}}$，于是$OP // BD_{1}$。又$\overrightarrow{AP}=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{BQ}=(-1,0,m)$，当$m=\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BQ}$，即$\overrightarrow{AP} // \overrightarrow{BQ}$，所以$AP // BQ$，又$OP \cap AP = P$，$BD_{1} \cap BQ = B$，所以平面$PAO //$平面$D_{1}BQ$，故当$Q$为$CC_{1}$的中点时，平面$D_{1}BQ //$平面$PAO$。 解法二：$\overrightarrow{OA}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$，$\overrightarrow{OP}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。设平面$PAO$的法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，则有$\boldsymbol{n}_{1} \perp \overrightarrow{OA}$，$\boldsymbol{n}_{1} \perp \overrightarrow{OP}$，因此$\begin{cases}\frac{1}{2}x_{1}-\frac{1}{2}y_{1}=0, \\ -\frac{1}{2}x_{1}-\frac{1}{2}y_{1}+\frac{1}{2}z_{1}=0, \end{cases}$取$x_{1}=1$，则$\boldsymbol{n}_{1}=(1,1,2)$。又因为$\overrightarrow{BD_{1}}=(-1,-1,1)$，$\overrightarrow{QD_{1}}=(0,-1,1 - m)$。设平面$D_{1}BQ$的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，则有$\boldsymbol{n}_{2} \perp \overrightarrow{BD_{1}}$，$\boldsymbol{n}_{2} \perp \overrightarrow{QD_{1}}$，因此$\begin{cases}-x_{2}-y_{2}+z_{2}=0, \\ -y_{2}+(1 - m)z_{2}=0, \end{cases}$取$z_{2}=1$，则$\boldsymbol{n}_{2}=(m,1 - m,1)$。要使平面$D_{1}BQ //$平面$PAO$，需满足$\boldsymbol{n}_{1} // \boldsymbol{n}_{2}$，因此$\frac{1}{m}=\frac{1}{1 - m}=\frac{2}{1}$，解得$m=\frac{1}{2}$，这时$Q\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$。故当$Q$为$CC_{1}$的中点时，平面$D_{1}BQ //$平面$PAO$。

观察图片，图中旗杆所在直线和地面垂直，那么旗杆所在直线的方向向量与地面的法向量有什么关系呢？

答案： 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直。@@方法一：（几何法）利用线、面垂直的判定定理与性质定理证明直线、平面的垂直关系；方法二：（向量法）利用直线的方向向量与平面的法向量的平行关系证明直线、平面的垂直关系。

1. 直线与直线垂直的判定方法
如图，设直线$l_1$，$l_2$的方向向量分别为$\boldsymbol{u}_1$，$\boldsymbol{u}_2$，则$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \perp \boldsymbol{u}_2 \Leftrightarrow$ ________ 。

答案： $\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2 = 0$

2. 直线与平面垂直的判定方法
如图，设直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{u}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$，则$l \perp \alpha \Leftrightarrow \boldsymbol{u} // \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbf{R}$，使得 ________ 。

答案： $\boldsymbol{u}=\lambda\boldsymbol{n}$

3. 平面与平面垂直的判定方法
如图，设平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{n}_1$，$\boldsymbol{n}_2$，则$\alpha \perp \beta \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \perp \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow$ ________ 。

答案： $\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2 = 0$

微思考
1. 怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？
2. 证明直线、平面的垂直关系有哪些方法？

答案： 1. 提示：一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直。 2. 提示：方法一：（几何法）利用线、面垂直的判定定理与性质定理证明直线、平面的垂直关系；方法二：（向量法）利用直线的方向向量与平面的法向量的平行关系证明直线、平面的垂直关系。