《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】如图，棱长为$1$的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$是$AB$的中点，$F$是$BB_{1}$的中点，$G$是$AB_{1}$的中点，试建立适当的坐标系，并确定$E$，$F$，$G$三点的坐标。

答案：
解 如图
，以D为原点，分别以DA，DC，$DD_{1}$所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Dxyz，E点在Dxy平面中，且$\vert EA\vert=\frac{1}{2}$。所以$\overrightarrow{DE}=i+\frac{1}{2}j + 0k$，所以E点的坐标为$(1,\frac{1}{2},0)$。同理B点和$B_{1}$点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，因为F是$BB_{1}$的中点，故F点坐标为$(1,1,\frac{1}{2})$。同理可得G点坐标为$(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。

【变式训练】如图所示，在三棱锥$O - ABC$中，$OA$，$OB$，$OC$两两垂直，$OA = 1$，$OB = 2$，$OC = 3$，$E$，$F$分别为$AC$，$BC$的中点，建立以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系$Oxyz$，求$EF$中点$P$的坐标。

答案： 解 令x，y，z轴方向上的单位向量分别为i，j，k，因为$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{4}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}i+\frac{1}{4}\times2j+\frac{1}{2}\times3k=\frac{1}{4}i+\frac{1}{2}j+\frac{3}{2}k=(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，所以点P的坐标为$(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。

【例2】在正三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，已知$\triangle ABC$的边长为$1$，三棱柱的高为$2$，建立适当的空间直角坐标系，并写出$\overrightarrow{AA_{1}}$，$\overrightarrow{AB_{1}}$，$\overrightarrow{AC_{1}}$的坐标。

答案：
解 分别取BC，$B_{1}C_{1}$的中点D，$D_{1}$，连接$DD_{1}$，DA，
由题意得DC，DA，$DD_{1}$两两垂直，所以以D为原点，分别以$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DD_{1}}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示。设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，因为$AD = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$DC=\frac{1}{2}$，所以$\overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{DD_{1}} = 2k$，$\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BB_{1}}=-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DD_{1}}=-\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{2}j + 2k$，$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_{1}}+\overrightarrow{D_{1}C_{1}}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DD_{1}}=\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{2}j + 2k$，所以$\overrightarrow{AA_{1}}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{AB_{1}}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},2)$，$\overrightarrow{AC_{1}}=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},2)$。

【例3】在空间直角坐标系中，已知点$P(-2, 1, 4)$。
（1）求点$P$关于$x$轴的对称点的坐标；
（2）求点$P$关于$Oxy$平面的对称点的坐标；
（3）求点$P$关于点$M(2, -1, -4)$的对称点的坐标。

答案： 解
(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为$P_{1}(-2,-1,-4)$。
(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为$P_{2}(-2,1,-4)$。
(3)设对称点为$P_{3}(x,y,z)$，则点M为线段$PP_{3}$的中点，由中点坐标公式，可得$x = 2\times2-(-2)=6$，$y = 2\times(-1)-1=-3$，$z = 2\times(-4)-4=-12$，所以$P_{3}(6,-3,-12)$。