《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例3】已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为$2$，$E$，$F$分别是$BB_{1}$，$DD_{1}$的中点，求证：平面$ADE//$平面$B_{1}C_{1}F$。

答案：
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则$D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$C_{1}(0,2,2)$，$E(2,2,1)$，$F(0,0,1)$，$B_{1}(2,2,2)$，所以$\overrightarrow{FC_{1}}=(0,2,1)$，$\overrightarrow{DA}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,2,1)$，$\overrightarrow{C_{1}B_{1}}=(2,0,0)$，设$\boldsymbol{n}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$是平面$ADE$的法向量，则$\boldsymbol{n}_{1} \perp \overrightarrow{DA}$，$\boldsymbol{n}_{1} \perp \overrightarrow{AE}$，即$\begin{cases}\boldsymbol{n}_{1} \cdot \overrightarrow{DA}=2x_{1}=0, \\ \boldsymbol{n}_{1} \cdot \overrightarrow{AE}=2y_{1}+z_{1}=0, \end{cases}$得$\begin{cases}x_{1}=0, \\ z_{1}=-2y_{1}。 \end{cases}$令$z_{1}=2$，则$y_{1}=-1$，所以平面$ADE$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(0,-1,2)$。同理，设$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$是平面$B_{1}C_{1}F$的法向量。由$\boldsymbol{n}_{2} \perp \overrightarrow{FC_{1}}$，$\boldsymbol{n}_{2} \perp \overrightarrow{C_{1}B_{1}}$，得$\begin{cases}\boldsymbol{n}_{2} \cdot \overrightarrow{FC_{1}}=2y_{2}+z_{2}=0, \\ \boldsymbol{n}_{2} \cdot \overrightarrow{C_{1}B_{1}}=2x_{2}=0, \end{cases}$解得$\begin{cases}x_{2}=0, \\ z_{2}=-2y_{2}。 \end{cases}$令$z_{2}=2$，得$y_{2}=-1$，所以平面$B_{1}C_{1}F$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(0,-1,2)$。因为$\boldsymbol{n}_{1}=\boldsymbol{n}_{2}$，即$\boldsymbol{n}_{1} // \boldsymbol{n}_{2}$，所以平面$ADE //$平面$B_{1}C_{1}F$。

【变式训练】如图，在四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，侧棱$A_{1}A\perp$底面$ABCD$，$AB\perp AC$，$AB = 1$，$AC = AA_{1}=2$，$AD = CD=\sqrt{5}$，且点$M$和$N$分别为$B_{1}C$和$D_{1}D$的中点。求证：$MN//$平面$ABCD$。

答案：
证明：如图，以$A$为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得$A(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$D(1,-2,0)$，$B_{1}(0,1,2)$，$D_{1}(1,-2,2)$。 因为$M$，$N$分别为$B_{1}C$，$D_{1}D$的中点，所以$M\left(1,\frac{1}{2},1\right)$，$N(1,-2,1)$。依题意，可得$\boldsymbol{n}=(0,0,1)$为平面$ABCD$的一个法向量，又$\overrightarrow{MN}=\left(0,-\frac{5}{2},0\right)$，则$\overrightarrow{MN} \cdot \boldsymbol{n}=0$，又直线$MN\not\subset$平面$ABCD$，所以$MN //$平面$ABCD$。

【变式训练】如图所示，平面$PAD\perp$平面$ABCD$，$ABCD$为正方形，$\triangle PAD$是直角三角形，且$PA = AD = 2$，$E$，$F$，$G$分别是线段$PA$，$PD$，$CD$的中点。求证：平面$EFG//$平面$PBC$。

答案：
证明：因为平面$PAD \perp$平面$ABCD$，四边形$ABCD$为正方形，$\triangle PAD$是直角三角形，且$PA = AD$，所以$AB$，$AP$，$AD$两两垂直，以$A$为原点，$AB$，$AD$，$AP$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,0,2)$，$E(0,0,1)$，$F(0,1,1)$，$G(1,2,0)$。所以$\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{FE}=(0,-1,0)$，$\overrightarrow{FG}=(1,1,-1)$，$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$，设$\boldsymbol{n}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$是平面$EFG$的法向量，则$\boldsymbol{n}_{1} \perp \overrightarrow{FE}$，$\boldsymbol{n}_{1} \perp \overrightarrow{FG}$，即$\begin{cases}\boldsymbol{n}_{1} \cdot \overrightarrow{FE}=0, \\ \boldsymbol{n}_{1} \cdot \overrightarrow{FG}=0, \end{cases}$得$\begin{cases}-y_{1}=0, \\ x_{1}+y_{1}-z_{1}=0, \end{cases}$令$z_{1}=1$，则$x_{1}=1$，$y_{1}=0$，所以平面$EFG$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(1,0,1)$。设$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$是平面$PBC$的法向量，则$\boldsymbol{n}_{2} \perp \overrightarrow{PB}$，$\boldsymbol{n}_{2} \perp \overrightarrow{BC}$，即$\begin{cases}\boldsymbol{n}_{2} \cdot \overrightarrow{PB}=2x_{2}-2z_{2}=0, \\ \boldsymbol{n}_{2} \cdot \overrightarrow{BC}=2y_{2}=0, \end{cases}$即$\begin{cases}y_{2}=0, \\ x_{2}-z_{2}=0, \end{cases}$令$z_{2}=1$，得$x_{2}=1$，$y_{2}=0$，所以平面$PBC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(1,0,1)$。因为$\boldsymbol{n}_{1}=\boldsymbol{n}_{2}$，所以平面$EFG //$平面$PBC$。