《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【典例1】已知$A(0,1)$，$B(2,1)$，$C(3,4)$，$D(-1,2)$，问这四点能否在同一个圆上？为什么？

答案： 【解】设经过$A$，$B$，$C$三点的圆的方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。
则$\begin{cases}a^2 + (1 - b)^2 = r^2, \\(2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2, \\(3 - a)^2 + (4 - b)^2 = r^2, \end{cases}$
解此方程组，得$\begin{cases}a = 1, \\b = 3, \\r^2 = 5。\end{cases}$
故经过$A$，$B$，$C$三点的圆的标准方程是$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$。
把点$D$的坐标$(-1,2)$代入上面方程的左边，得$(-1 - 1)^2 + (2 - 3)^2 = 5$。
于是点$D$在经过$A$，$B$，$C$三点的圆上，
故$A$，$B$，$C$，$D$四点在同一个圆上，这个圆的方程为$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$。

【典例2】赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥。如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度$a$和圆拱高$b$表示出赵州桥圆弧所在圆的半径。

答案：
【解】作出示意图如图所示，其中$AB$表示跨度，$O$为$AB$中点，$OC$为圆拱高。以$O$为原点，$AB$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有$B(\frac{a}{2},0)$，$C(0,b)$。可以看出，圆弧所在圆的圆心在$y$轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为$(0,t)$，半径为$r$，因为$B$，$C$都在圆上，所以$\begin{cases}(\frac{a}{2})^2 + t^2 = r^2, \\(b - t)^2 = r^2, \end{cases}$解得$r = \frac{4b^2 + a^2}{8b}$。

1. 圆心为$(1,1)$且过原点的圆的标准方程是（ ）
A. $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$
B. $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$
C. $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 2$
D. $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$

答案： D

2. 已知圆$(x - a)^2 + (y - 1)^2 = 2a(0 ＜ a ＜ 1)$，则原点$O$在（ ）

A. 圆内
B. 圆外
C. 圆上
D. 圆上或圆外

答案： B

3. 已知两点$P(4,0)$，$Q(0,2)$，则以线段$PQ$为直径的圆的方程是（ ）
A. $(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$
B. $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$
C. $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$
D. $(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 10$

答案： C

4. 已知圆$C$过点$(8,1)$，且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆$C$的方程为$(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$。

答案： $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$