《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】如图所示，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，点$E$在$A_{1}D_{1}$上，且$\overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{ED_{1}}$，点$F$在体对角线$A_{1}C$上，且$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$。求证：$E,F,B$三点共线。

答案： 证明 设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=b$，$\overrightarrow{AA_{1}}=c$。因为$\overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{ED_{1}}$，$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$，所以$\overrightarrow{A_{1}E}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A_{1}D_{1}}$，$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{5}\overrightarrow{A_{1}C}$，所以$\overrightarrow{A_{1}E}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}b$，$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA_{1}})=\frac{2}{5}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_{1}})=\frac{2}{5}a+\frac{2}{5}b-\frac{2}{5}c$，所以$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{A_{1}F}-\overrightarrow{A_{1}E}=\frac{2}{5}a-\frac{4}{15}b-\frac{2}{5}c=\frac{2}{5}(a-\frac{2}{3}b - c)$。又$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}b - c + a=a-\frac{2}{3}b - c$。所以$\overrightarrow{EF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{EB}$，又因为$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{EB}$有公共点$E$，所以$E$，$F$，$B$三点共线。

1. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=$（ ）
A. $\overrightarrow{OA}$
B. $\overrightarrow{AB}$
C. $\overrightarrow{OC}$
D. $\overrightarrow{AC}$

答案： C 解析 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}$。

2. （多选）已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AC_{1}$的中点为$O$，则下列互为相反向量的是（ ）
A. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}$
B. $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OA_{1}}-\overrightarrow{OD_{1}}$
C. $\overrightarrow{OA_{1}}-\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_{1}}$
D. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}+\overrightarrow{OD_{1}}$

答案： ACD 解析 A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量。

3. 在空间四边形$ABCD$中，连接$BD$，若$\triangle BCD$是正三角形，且$E$为其中心，则$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{3}{2}\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{AD}$的化简结果为 。

答案： $0$ 解析 连接$DE$并延长交$BC$于点$F$，连接$AF$（图略），则$\overrightarrow{DF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DE}$，所以$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{3}{2}\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DA}=0$。

4. 在空间四边形$ABCD$中，$E,F$分别是$AB,CD$的中点，则$\overrightarrow{EF}$和$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$的关系是 。（填“平行”“相等”或“相反”）

答案： 平行 解析 设$G$是$AC$的中点，连接$EG$，$FG$（图略），则$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$，所以$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$，从而$\overrightarrow{EF}//(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$。

5. 若对任意一点$O$和不共线的三点$A,B,C$，有$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，则$x + y + z = 1$是四点$P,A,B,C$共面的充要条件吗？为什么？

答案： 解 是。因为$P$，$A$，$B$，$C$四点共面的充要条件是存在$m$，$n$使$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，即$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=m(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+n(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})\Leftrightarrow\overrightarrow{OP}=(1 - m - n)\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$。令$x = 1 - m - n$，$y = m$，$z = n$。则$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$且$x + y + z = 1$。