《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【典例】如图所示，在底面是菱形的四棱锥$P - ABCD$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA = AC = a$，点$E$在$PD$上，且$PE:ED = 2:1$。在棱$PC$上是否存在一点$F$，使$BF//$平面$AEC$？证明你的结论。

答案：
【解】如图，以$A$为原点，直线$AD$，$AP$分别为$y$轴、$z$轴，过$A$点垂直于平面$PAD$的直线为$x$轴，建立空间直角坐标系。
由题意，知相关各点的坐标分别为$A(0,0,0)$，$B(\frac{\sqrt{3}}{2}a,-\frac{1}{2}a,0)$，$C(\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{1}{2}a,0)$，$P(0,0,a)$，$E(0,\frac{2}{3}a,\frac{1}{3}a)$。
所以$\overrightarrow{AE}=(0,\frac{2}{3}a,\frac{1}{3}a)$，$\overrightarrow{AC}=(\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{1}{2}a,0)$，$\overrightarrow{PC}=(\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{1}{2}a,-a)$，$\overrightarrow{BP}=(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{1}{2}a,a)$。
设点$F$是棱$PC$上的点，$\overrightarrow{PF}=\lambda\overrightarrow{PC}=(\frac{\sqrt{3}}{2}a\lambda,\frac{1}{2}a\lambda,-a\lambda)$，其中$0\leqslant\lambda\leqslant1$，则$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PF}=(\frac{\sqrt{3}}{2}a(\lambda - 1),\frac{1}{2}a(1 + \lambda),a(1 - \lambda))$，
令$\overrightarrow{BF}=\lambda_{1}\overrightarrow{AC}+\lambda_{2}\overrightarrow{AE}=(\frac{\sqrt{3}}{2}a(\lambda - 1),\frac{1}{2}a(1 + \lambda),a(1 - \lambda))$，
则$\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{2}a(\lambda - 1)=\frac{\sqrt{3}}{2}a\lambda_{1},\\\frac{1}{2}a(1 + \lambda)=\frac{1}{2}a\lambda_{1}+\frac{2}{3}a\lambda_{2},\\a(1 - \lambda)=\frac{1}{3}a\lambda_{2},\end{cases}$
即$\begin{cases}\lambda - 1=\lambda_{1},\\1 + \lambda=\lambda_{1}+\frac{4}{3}\lambda_{2},\\1 - \lambda=\frac{1}{3}\lambda_{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda=\frac{1}{2},\\\lambda_{1}=-\frac{1}{2},\\\lambda_{2}=\frac{3}{2},\end{cases}$
即$\lambda=\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AE}$，
即$F$是$PC$的中点时，$\overrightarrow{BF},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}$共面。
又$BF\not\subset$平面$AEC$，
所以当$F$是棱$PC$的中点时，$BF//$平面$AEC$。

1. 若不重合的直线$l_{1},l_{2}$的方向向量分别为$\boldsymbol{a}=(1,2,-2)$，$\boldsymbol{b}=(-3,-6,6)$，则 （ ）
A. $l_{1}// l_{2}$
B. $l_{1}\perp l_{2}$
C. $l_{1},l_{2}$相交但不垂直
D. 不能确定

答案： A 解析：因为$\frac{1}{-3}=\frac{2}{-6}=\frac{-2}{6}$，所以$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$。又直线$l_{1}$，$l_{2}$不重合，所以$l_{1}$，$l_{2}$平行。

2. （多选）若直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{a}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$，能使$l//\alpha$的是 （ ）
A. $\boldsymbol{a}=(1,0,0)$，$\boldsymbol{n}=(0,-2,0)$
B. $\boldsymbol{a}=(1,3,5)$，$\boldsymbol{n}=(1,0,1)$
C. $\boldsymbol{a}=(0,2,1)$，$\boldsymbol{n}=(-1,0,-1)$
D. $\boldsymbol{a}=(1,-1,3)$，$\boldsymbol{n}=(0,3,1)$

答案： AD 解析：若$l // \alpha$，则$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=0$。而A中$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=0$，B中$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=1 + 5 = 6$，C中$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=-1$，D中$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=-3 + 3 = 0$，故选AD。