《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

4. 已知空间三点$A(1,1,1)$，$B(-1,0,4)$，$C(2,-2,3)$，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CA}$的夹角的大小是___。

答案： $120^{\circ}$。解析：因为$\overrightarrow{AB}=(-2,-1,3)$，$\overrightarrow{CA}=(-1,3,-2)$，所以$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\rangle=\frac{(-2)\times(-1)+(-1)\times3 + 3\times(-2)}{\sqrt{14}\times\sqrt{14}}=\frac{-7}{14}=-\frac{1}{2}$，所以$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\rangle = 120^{\circ}$。

5. 已知空间三点$A(1,2,3)$，$B(2,-1,5)$，$C(3,2,-5)$。
（1）求$\triangle ABC$的面积；
（2）求$\triangle ABC$中$AB$边上的高。

答案： 解： （1）由已知，得$\overrightarrow{AB}=(1,-3,2)$，$\overrightarrow{AC}=(2,0,-8)$，所以$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1 + 9 + 4}=\sqrt{14}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4 + 0 + 64}=2\sqrt{17}$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times2+(-3)\times0 + 2\times(-8)=-14$，所以$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{-14}{\sqrt{14}\times2\sqrt{17}}=-\frac{\sqrt{14}}{2\sqrt{17}}$，所以$\sin\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\sqrt{1-\frac{14}{68}}=\sqrt{\frac{27}{34}}$。所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\frac{1}{2}\times\sqrt{14}\times2\sqrt{17}\times\sqrt{\frac{27}{34}}=3\sqrt{21}$。 （2）设$AB$边上的高为$CD$，则$|\overrightarrow{CD}|=\frac{2S_{\triangle ABC}}{|\overrightarrow{AB}|}=3\sqrt{6}$，即$\triangle ABC$中$AB$边上的高为$3\sqrt{6}$。

1. 空间中点的向量表示
如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量______来表示。我们把向量______称为点 P 的位置向量。

答案： $\overrightarrow{OP}$@@$\overrightarrow{OP}$

2. 空间中直线的向量表示
如图，取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\boldsymbol{a}$①，将$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$代入①式得________②。
①式和②式都称为空间直线的向量表示式。

答案： $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$

3. 空间中平面的向量表示
如图，取定空间任意一点 O，可以得到，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使$\overrightarrow{OP}=$__________。我们把该式称为空间平面 ABC 的向量表示式。

答案： $\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$

4. 平面的法向量
如图，直线 l⊥α。取直线 l 的________，则称向量$\boldsymbol{a}$为平面α的法向量。

答案： 方向向量 $\boldsymbol{a}$

微思考
1. 如何确定直线的方向向量？
2. 如何确定一个平面的法向量？

答案： 提示：在直线上任取两点 $A$，$B$，则向量 $\overrightarrow{AB}$ 为直线的一个方向向量。有时根据实际情况 $A$，$B$ 可以取在某些特殊位置上。 提示：
(1)设向量：设平面的法向量为 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$。
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$。
(3)列方程组：由 $\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$ 列出方程组。
(4)解方程组：$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$。
(5)赋非零值：取其中一个为非零值（常取 $\pm1$）。
(6)得结论：得到平面的一个法向量。