《2026年龙江王中王中考总复习数学》

21. (2024牡丹江)数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle BAC = 30°$，点$D$在直线$BC$上，将线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$60°$得到线段$AE$，过点$E$作$EF // BC$，交直线$AB$于点$F$.
(1) 当点$D$在线段$BC$上时，如图①，求证：$BD + EF = AB$；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用$AD = AE$构造全等三角形，便尝试着在$AB$上取点$M$，使$AM = EF$，连接$DM$，通过证明两个三角形全等，最终证出结论.
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
(2) 当点$D$在线段$BC$的延长线上时，如图②；当点$D$在线段$CB$的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段$BD, EF, AB$之间的数量关系；
拓展思考：
(3) 在(1)(2)的条件下，若$AC = 6\sqrt{3}$，$CD = 2BD$，则$EF =$10或18°.

答案：
21.
(1)证明：在$AB$上取点$M$，使$AM=EF$，连接$DM$。

$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle BAC=60^{\circ}$。
$\because EF// BC$，$\therefore \angle EFB=\angle B=60^{\circ}$。
由旋转可得$AE=AD$，$\angle EAD=60^{\circ}$。
$\therefore \angle EFB=\angle EAD$。
又$\because \angle BAD=\angle EAD-\angle EAF$，$\angle AEF=\angle EFB-\angle EAF$，
$\therefore \angle BAD=\angle AEF$。
又$\because AD=AE$，$AM=EF$，$\therefore \triangle DAM\cong \triangle AEF(SAS)$。
$\therefore DM=AF$，$\angle AMD=\angle EFA=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$。
$\therefore \angle BMD=180^{\circ}-\angle AMD=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
$\because \angle B=60^{\circ}$，$\therefore \angle B=\angle BMD=\angle BDM$。
$\therefore \triangle BMD$是等边三角形。$\therefore BD=BM=DM$。
$\because AB=AM+BM$，$\therefore AB=EF+BD$。
(2)图②：$AB=BD - EF$。图③：$AB=EF - BD$。


(3)10或18