《2026年龙江王中王中考总复习数学》

1. 定义：

如图，在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90 ^ { \circ } $，$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边分别为$a$、$b$、$c$，$\sin A$$= \underline{ \ \ \ \ \ \ }$；$\cos$$A = \underline{ \ \ \ \ \ \ }$；$\tan A =$$\underline{ \ \ \ \ \ \ }$.锐角$A$的正弦、余弦、正切都叫作$\angle A$的 .

答案： $\frac{a}{c}$；$\frac{b}{c}$；$\frac{a}{b}$；三角函数

2. 互为余角的三角函数关系：
$\sin ( 9 0 ^ { \circ } - A ) =$ $\underline{ \ \ \ \ \ \ }$ $=$ $\underline{ \ \ \ \ \ \ }$； $\cos ( 9$$0 ^ { \circ } - A ) =$$\underline{ \ \ \ \ \ \ }$ $=$ $\underline{ \ \ \ \ \ \ }$；
$\tan ( 9 0 ^ { \circ } - A ) =$ $\underline{ \ \ \ \ \ \ }$ $=$$\underline{ \ \ \ \ \ \ }$； $\tan A ·$$\tan ( 9 0 ^ { \circ } - A ) =$$\underline{ \ \ \ \ \ \ }$.

答案： $\cos A$；$\sin A$；$\cot A$；1

3. 三角函数的增减性$0 ^ { \circ } ＜ \alpha ＜ 9 0 ^ { \circ } $：
(1)正弦：随着角度$\alpha$的增大，函数值$\sin \alpha$逐渐 ；
(2)余弦：随着角度$\alpha$的增大，函数值$\cos \alpha$逐渐 ；
(3)正切：随着角度$\alpha$的增大，函数值$\tan \alpha$逐渐 .

答案：
(1)增大；
(2)减小；
(3)增大

4. 特殊角的三角函数：

答案： | $\alpha$ | $\sin \alpha$ | $\cos \alpha$ | $\tan \alpha$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $30^{\circ}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45^{\circ}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^{\circ}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = \alpha$，$AB = c$，$BC = a$，利用“$SAS$”可求$AC$及$\angle C$、$\angle BAC$.

答案： 1. 首先求$AC$：
过$A$作$AD\perp BC$于$D$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin\alpha=\frac{AD}{AB}$，$\cos\alpha = \frac{BD}{AB}$。
因为$AB = c$，所以$AD = c\sin\alpha$，$BD = c\cos\alpha$。
又因为$BC = a$，所以$DC=a - c\cos\alpha$。
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}$。
把$AD = c\sin\alpha$，$DC=a - c\cos\alpha$代入可得：
$AC=\sqrt{(c\sin\alpha)^{2}+(a - c\cos\alpha)^{2}}=\sqrt{c^{2}\sin^{2}\alpha+a^{2}-2ac\cos\alpha + c^{2}\cos^{2}\alpha}$。
根据$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，则$AC=\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha}$。
2. 然后求$\angle C$：
在$Rt\triangle ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{DC}$。
因为$AD = c\sin\alpha$，$DC=a - c\cos\alpha$，所以$\tan C=\frac{c\sin\alpha}{a - c\cos\alpha}$，则$\angle C=\arctan(\frac{c\sin\alpha}{a - c\cos\alpha})$。
3. 最后求$\angle BAC$：
方法一：
根据三角形内角和为$\pi$，$\angle BAC=\pi-\alpha-\angle C$。
把$\angle C=\arctan(\frac{c\sin\alpha}{a - c\cos\alpha})$代入可得$\angle BAC=\pi-\alpha-\arctan(\frac{c\sin\alpha}{a - c\cos\alpha})$。
方法二：
先求$\cos\angle BAC$，根据余弦定理$\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB· AC}$。
已知$AB = c$，$AC=\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha}$，$BC = a$，代入可得$\cos\angle BAC=\frac{c^{2}+(a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha)-a^{2}}{2c\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha}}=\frac{2c^{2}-2ac\cos\alpha}{2c\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha}}=\frac{c - a\cos\alpha}{\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha}}$，则$\angle BAC=\arccos(\frac{c - a\cos\alpha}{\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha}})$。
综上，$AC = \sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha}$，$\angle C=\arctan(\frac{c\sin\alpha}{a - c\cos\alpha})$，$\angle BAC=\pi-\alpha-\arctan(\frac{c\sin\alpha}{a - c\cos\alpha})$（或$\angle BAC=\arccos(\frac{c - a\cos\alpha}{\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos\alpha}})$）。