《2026年龙江王中王中考总复习数学》

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = c$，$BC = a$，$AC = b$，利用“$SSS$”可求角.

答案： 1. 首先，作$AD\perp BC$于$D$，设$BD = x$，则$DC=a - x$：
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}$，即$AD^{2}=c^{2}-x^{2}$；
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-DC^{2}$，即$AD^{2}=b^{2}-(a - x)^{2}$。
2. 然后，由$c^{2}-x^{2}=b^{2}-(a - x)^{2}$展开等式右边：
根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，$b^{2}-(a - x)^{2}=b^{2}-(a^{2}-2ax + x^{2})=b^{2}-a^{2}+2ax - x^{2}$。
所以$c^{2}-x^{2}=b^{2}-a^{2}+2ax - x^{2}$，消去$-x^{2}$得：$2ax=c^{2}+a^{2}-b^{2}$，解得$x=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}$。
3. 接着，求$\cos B$：
在$Rt\triangle ABD$中，$\cos B=\frac{BD}{AB}$。
因为$BD = x=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}$，$AB = c$，所以$\cos B=\frac{\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}}{c}=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$。
同理，作其他边上的高，可得到$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$。
解：通过作高，利用勾股定理和三角函数的定义，由$SSS$（已知三边$a,b,c$），根据余弦定理$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，可以求出角$A$，$B$，$C$。

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = \alpha$，$\angle C = \beta$，$BC = a$，利用“$ASA$”可求其他的边或角.

答案： 1. 首先求$\angle A$：
根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，则$\angle A=180^{\circ}-\alpha - \beta$。
2. 然后作$AD\perp BC$于$D$：
设$BD = x$，$CD=a - x$，$AD = h$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\tan\alpha=\frac{h}{x}$，所以$h = x\tan\alpha$；在$Rt\triangle ACD$中，$\tan\beta=\frac{h}{a - x}$，所以$h=(a - x)\tan\beta$。
则$x\tan\alpha=(a - x)\tan\beta$。
展开得$x\tan\alpha=a\tan\beta - x\tan\beta$。
移项得$x(\tan\alpha+\tan\beta)=a\tan\beta$，解得$x = \frac{a\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$。
那么$h=x\tan\alpha=\frac{a\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin\alpha=\frac{h}{AB}$，所以$AB=\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{a\tan\beta}{\sin\alpha(\tan\alpha+\tan\beta)}=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$（利用$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，$\tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$，$\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$化简：$\frac{a\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\sin\alpha(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta})}=\frac{a\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)}=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$）。
同理，在$Rt\triangle ACD$中，$\sin\beta=\frac{h}{AC}$，$AC = \frac{h}{\sin\beta}=\frac{a\tan\alpha}{\sin\beta(\tan\alpha+\tan\beta)}=\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$。
综上，$\angle A = 180^{\circ}-(\alpha+\beta)$，$AB=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$，$AC=\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$。

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC = 4 \sqrt { 3 }$，$AC = 4$，$\angle BAC = 1 5 0 ^ { \circ } $或$\angle BAC = 1 2 0 ^ { \circ } $，利用“$SSA$”可求其他的边或角.

答案： 1. 当$\angle BAC = 150^{\circ}$时：
过$C$作$CD\perp BA$，交$BA$的延长线于$D$。
因为$\angle BAC = 150^{\circ}$，所以$\angle CAD=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADC$中，根据$30^{\circ}$所对直角边是斜边的一半，$AC = 4$，则$CD=\frac{1}{2}AC = 2$，$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle BDC$中，$BC = 4\sqrt{3}$，$CD = 2$，根据勾股定理$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-2^{2}}=\sqrt{48 - 4}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$。
所以$AB=BD - AD=2\sqrt{11}-2\sqrt{3}$。
再根据正弦定理$\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AC}{\sin B}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{\sin150^{\circ}}=\frac{4}{\sin B}$，$\sin B=\frac{4×\sin150^{\circ}}{4\sqrt{3}}=\frac{4×\frac{1}{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\angle B=\arcsin\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle B=180^{\circ}-150^{\circ}-\arcsin\frac{\sqrt{3}}{6}=30^{\circ}-\arcsin\frac{\sqrt{3}}{6}$。
2. 当$\angle BAC = 120^{\circ}$时：
过$C$作$CD\perp BA$，交$BA$的延长线于$D$。
因为$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle CAD = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AC = 4$，$\sin\angle CAD=\frac{CD}{AC}$，$\cos\angle CAD=\frac{AD}{AC}$，则$CD = AC\sin60^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$AD = AC\cos60^{\circ}=4×\frac{1}{2}=2$。
在$Rt\triangle BDC$中，$BC = 4\sqrt{3}$，$CD = 2\sqrt{3}$，根据勾股定理$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{48 - 12}=\sqrt{36}=6$。
所以$AB=BD - AD=6 - 2 = 4$。
再根据正弦定理$\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AC}{\sin B}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{\sin120^{\circ}}=\frac{4}{\sin B}$，$\sin B=\frac{4×\sin120^{\circ}}{4\sqrt{3}}=\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，因为$AC\lt BC$，所以$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle B=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
综上，当$\angle BAC = 150^{\circ}$时，$AB = 2\sqrt{11}-2\sqrt{3}$，$\angle B=\arcsin\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\angle ACB=30^{\circ}-\arcsin\frac{\sqrt{3}}{6}$；当$\angle BAC = 120^{\circ}$时，$AB = 4$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 30^{\circ}$。